Question

Основание пирамиды - ромб с острым углом в 30o. Боковые грани наклонены к плоскости основания под углом в 60o. Найдите площадь боковой гранипирамиды, если радиус вписанного в ромб круга равен корень из 3

Answer 1

Пусть H - высота пирамиды PABCD, основание которой - ромб ABCD с углом 30o при вершине A, PM - перпендикуляр, опущенный на сторонуBC. По теореме о трех перпендикулярах HM  BC. Значит, PMH - линейный угол двугранного угла между боковой гранью BCP и плоскостью основания ABCD. Поэтому PMH = 60o.

Опустив перпендикуляры из вершины P на остальные стороны ромба и рассмотрев полученные прямоугольные треугольники с общим катетом PH и противолежащим углом, равным 60o, докажем, что точка Hравноудалена от всех четырех прямых, содержащих стороны ромба ABCD. Поэтому H - центр окружности, вписанной в этот ромб, т.е. точка пересечения его диагоналей.

Опустим перпендикуляр BF из вершины ромба на сторону AD. Тогда BF= 2r. Из прямоугольного треугольника ABF находим, что AB = 2 . BF = 4r. Значит,

S(ABCD) = AD . BF . sin 30o = AB . BF . sin 30o= 8r2.

Из прямоугольного треугольника PMHнаходим, что

PH = HM . tg60o = r.

Следовательно,

V(PABCD) = S(ABCD) . PH = 8r2 . r = r3.

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте немного упростим её.

Поскольку в пирамиде ромбическое основание с острым углом 30°, мы можем разделить ромб на два равнобедренных треугольника. Каждый из этих треугольников имеет углы 30°, 30° и 120°.

Также, у нас есть информация о том, что радиус вписанного в ромб круга равен корень из 3. Из свойств равнобедренных треугольников и круга, радиус вписанной окружности равен половине диагонали ромба. Пусть длина стороны ромба будет "a".

Теперь, рассмотрим один из треугольников в ромбе. Мы можем представить его таким образом:

cssCopy code
     /|\
    / | \
   /  |  \
 a/   |   \a
 /    |    \
/     |     \

/|\

Где длина стороны ромба a делится пополам и получаем два треугольника, каждый из которых имеет углы 30°, 30° и 120°.

Теперь, мы знаем, что косинус угла 30° равен (корень из 3)/2. Мы можем использовать тригонометрическую формулу для нахождения высоты треугольника по его стороне:

высота = a * cos(угол)

высота = a * (корень из 3)/2 = (корень из 3) * a/2

Теперь у нас есть высота одного из треугольников в ромбе, и это же является высотой боковой грани пирамиды. Таким образом, площадь боковой грани пирамиды равна:

площадь боковой грани = (1/2) * сторона * высота

площадь боковой грани = (1/2) * a * ((корень из 3) * a/2)

площадь боковой грани = (1/4) * (корень из 3) * a^2

Теперь, чтобы получить окончательный ответ, нам нужно найти длину стороны "a" ромба. Для этого, зная, что радиус вписанной окружности равен корню из 3, можем использовать следующее свойство:

радиус = (1/2) * диагональ ромба

(корень из 3) = (1/2) * диагональ ромба

диагональ ромба = 2 * (корень из 3)

Теперь длина стороны "a" ромба:

a = (диагональ ромба) / (корень из 2)

a = (2 * (корень из 3)) / (корень из 2)

a = (2 * (корень из 3)) * (корень из 2) / 2

a = 2 * (корень из 6)

Теперь, чтобы найти площадь боковой грани пирамиды, мы можем подставить значение "a" в предыдущее выражение:

площадь боковой грани = (1/4) * (корень из 3) * (2 * (корень из 6))^2

площадь боковой грани = (1/4) * (корень из 3) * 4 * 6

площадь боковой грани = 6 * (корень из 3)

Итак, площадь боковой грани пирамиды равна 6 * (корень из 3) квадратных единиц.