Question

СРОЧНО!!!! Дан квадрат Abcd. Диагональ AC точками M, O, N разделена на четыре равные части. Докажите, что MBND -ромб

Answer 1

Дан квадрат ABCD. Диагональ AC точками M, O, N разделена на четыре равные части. Докажите, что MBND - ромб.

Проведём вторую диагональ BD квадрата ABCD.
По условию AM = MO = ON = NC. Отсюда АО = ОС
Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, и точкой пересечения делятся пополам => AC перпендикулярен BD.
Диагональ BD проходит через середину первой диагонали, то есть через точку О.
Значит, MN перпендикулярен BD
МО = ОN , BO = OD
Диагонали данного четырехугольника ВMDN взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Из этого следует, что четырехугольник ВMDN является ромбом, что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доказательства того, что MBND является ромбом, нужно показать, что все его стороны равны друг другу.

Обозначим точки:

A - вершина квадрата, B - вершина квадрата, C - вершина квадрата, D - вершина квадрата, M - точка на диагонали AC, O - точка на диагонали AC, N - точка на диагонали AC.

Из условия задачи диагональ AC делится на четыре равные части точками M, O и N. То есть:

AM = MO = ON

Теперь рассмотрим треугольники AMB и BNC:

1. Треугольник AMB: Мы знаем, что у квадрата все стороны равны, поэтому AB = AM + MB.

Также, из равенства AM = MO, можем записать AM = MO = x (пусть x - это длина стороны квадрата).

Теперь можем записать: AB = x + MB.

2. Треугольник BNC: Аналогично, у квадрата все стороны равны, поэтому BC = BN + NC.

Из равенства ON = NC, можем записать ON = NC = x (также пусть x - это длина стороны квадрата).

Теперь можем записать: BC = BN + x.

Теперь, чтобы доказать, что MBND - ромб, нужно показать, что MB = ND.

Из треугольников AMB и BNC мы знаем, что:

AB = x + MB BC = BN + x

Так как квадрат, то AB = BC, поэтому:

x + MB = BN + x

Теперь выразим MB:

MB = BN

Также мы знаем, что диагональ AC делит квадрат на два равных прямоугольных треугольника, AMB и CND, в которых углы AMB и CND прямые (потому что диагональ AC - это диагональ квадрата, и она делит его на два равных прямоугольных треугольника).

В таких треугольниках, если угол прямой, то их острые углы смежные, что значит:

∠MBN = ∠MND

Но углы MBN и MND лежат напротив сторон MB и ND соответственно.

Таким образом, у нас получилось:

MB = ND ∠MBN = ∠MND

С учетом этих равенств, мы можем заключить, что MBND - ромб, так как у него все стороны равны.

Таким образом, MBND действительно является ромбом.