Question

Основание шестиугольной пирамиды SABCDEF — правильный шестиугольник ABCDEF. Точки M и N — середины рёбер SA и SC. а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки M, N и B. б) В каком отношении плоскость сечения делит отрезок, соединяющий вершину S с центром основания пирамиды?

Answer 1

а) Сечение строится с использованием следа d, параллельного MN.

Затем до этой линии продлеваем стороны основания и через полученные точки и точки M и N проводим линии SD и SF.

Аналогично находим точку на ребре SE.

б) Деление высоты в точке К построенной плоскостью определяем по теореме Менелая. (SK/KO)*(2/1)*(1/1) = 1.

Отсюда (SK/KO) = (1/2).

Для этого используем сечение пирамиды плоскостью BSE, на которое проецируется ребро SC.

В этой проекции ВС = СО по свойству шестиугольника, CN = NS  по заданию.

Получаем треугольник CSO и секущая ВК.

Answer 2

Чтобы построить сечение пирамиды, проходящее через точки M, N и B, нужно следовать следующим шагам:

а) Построение плоскости сечения:

1. Найдите середины ребер SA и SC. Обозначим их как M и N соответственно.
2. Проведите отрезки MB и NB, соединяющие точки M и N с вершиной B пирамиды.
3. Проведите отрезок MN, соединяющий середины ребер SA и SC.

Теперь плоскость, проходящая через точки M, N и B, будет определена отрезками MB, NB и MN.

б) Отношение, в котором плоскость сечения делит отрезок, соединяющий вершину S с центром основания пирамиды:

1. Обозначим центр правильного шестиугольника ABCDEF как O.
2. Проведите отрезок SO, соединяющий вершину S с центром основания O пирамиды.
3. Найдите точку пересечения отрезка SO с плоскостью сечения из пункта (а). Обозначим эту точку как P.

Теперь мы имеем отрезки SP и PO. Для определения отношения SP к PO, нужно узнать, в какой части PO лежит точка P относительно O.

Если точка P делит отрезок PO в отношении α:β, то:

SP = α * PO, SO = (α + β) * PO.

Отношение α:β можно определить, используя подобие треугольников. Так как SOB и SPC подобны, то отношение их сторон равно отношению соответствующих сторон:

SO / SB = SP / SC.

Заметим, что SB = SC, так как это стороны правильного шестиугольника. Тогда:

(α + β) * PO / SB = α * PO / SB.

Теперь можно решить уравнение относительно α:

α + β = α, β = 0.

Таким образом, α:β = 1:0, что означает, что точка P лежит в точке O. Это означает, что плоскость сечения проходит через центр основания пирамиды в её центре.

Итак, плоскость сечения делит отрезок, соединяющий вершину S с центром основания пирамиды, в отношении 1:0, или просто в центре основания.