Question

В основании прямой призмы лежит равнобедренная трапеция с острым углом 60 градусов. Боковая сторона и меньшее основание трапеции равны соответственно 8 и 6. Через боковую сторону трапеции нижнего основания и вершину большего основания трапеции верхнего основания проведено сечение плоскостью, образующего с плоскостью нижнего основания угол в 30 градусов. Найдите площадь сечения.

Answer 1

Для начала построим сечение призмы плоскостью АВ1D. Точки А и В1 принадлежат плоскости, содержащей грань АА1В1В, следовательно, линия пересечения этой грани плоскостью сечения пройдет по прямой АВ1. Зная, что две параллельные плоскости пересекаются третьей по параллельным линиям, проведем в грани DD1C1C из точки D прямую, параллельную прямой АВ1 до пересечения с ребром СС1 этой грани в точке Р. Соединив точки А,В1,Р, и D, получим искомое сечение АВ1РD.

Определение: Двугранный угол, образованный полуплоскостями измеряется величиной его линейного угла, получаемого при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру (то есть перпендикулярной к обеим плоскостям).

Проведем перпендикуляр ВН в основании призмы (точка Н - пересечение его с ребром AD) и соединим точки В1 и Н прямой. По теореме о трех перпендикулярах В1Н перпендикулярна прямой AD. Следовательно, <B1HB является линейным углом двугранного угла между плоскостями сечения и основания призмы и равен 30° (дано). Проведем прямую РМ, параллельную прямой АВ.

Сечение призмы представляет собой четырехугольник, состоящий из параллелограмма АМРD и треугольника РМВ1.

Найдем высоту нашей трапеции, ее большее основание и длину перпендикуляра ВН.

В равнобедренной трапеции с углом при большем основании, равном 60°, полуразность оснований равна AD*Sin60 = 8*(1/2) =4. Тогда большее основание равно CD+2*4 = 6+8=14. Из прямоугольного треугольника АНВ получим ВН=АВ*Cos30 =7√3 и из треугольника НВВ1 => В1Н=(7√3)/(√3/2)=14.

Найдем отрезки HQ (высота параллелограмма ADCC1), HJ и JB1.

Sadcc1 = AD*DC*Sin60 = 24√3. => HQ=S/AD = 3√3.

HJ=HQ/Cos30 = (3√3)/(√3/2) = 6.

JB1=HB1-HJ = 14-6=8.

Sab1pd = Sampd+Spmb1 = 8*6+(1/2)8*8 = 80 ед.

Ответ: S = 80 ед.

Answer 2

Давайте разберемся в задаче шаг за шагом.

1. Опишем трапецию: Это равнобедренная трапеция с острым углом 60 градусов, а значит, углы при основаниях равны. Так как меньшее основание равно 6, а боковая сторона равна 8, то для нахождения боковых сторон трапеции мы можем использовать теорему косинусов для треугольника.

2. Найдем боковые стороны трапеции: Пусть "a" - боковая сторона трапеции, "b" - боковая сторона трапеции, "c" - меньшее основание трапеции (6).

Используем теорему косинусов: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(60^\circ)$ $a^2 = b^2 + 6^2 - 2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot \cos(60^\circ)$ $a^2 = b^2 + 36 - 48 \cdot \frac{1}{2}$ $a^2 = b^2 + 12$ $a = \sqrt{b^2 + 12}$

3. Теперь проведем сечение плоскостью, образующую с плоскостью нижнего основания угол 30 градусов.

Поскольку трапеция равнобедренная, её высота проходит через середину меньшего основания и является высотой бокового равнобедренного треугольника. Таким образом, высота треугольника равна половине меньшего основания:

$h = \frac{6}{2} = 3$

4. Найдем площадь сечения:

Площадь сечения прямой призмы определяется как произведение длины боковой стороны (трапеции) на высоту сечения (высоту бокового треугольника).

$\text{Площадь сечения} = a \cdot h = \sqrt{b^2 + 12} \cdot 3$

Теперь нам нужно найти значение "b", чтобы закончить решение задачи.

5. Найдем "b" из уравнения боковой стороны трапеции:

$b^2 = a^2 - 12$ $b^2 = (\sqrt{b^2 + 12})^2 - 12$ $b^2 = b^2 + 12 - 12$ $b^2 = b^2$

Мы получили тождество, что означает, что "b" может быть любым числом. Это объясняется тем, что мы не имеем достаточной информации о прямоугольнике, который бы позволил однозначно определить значение "b". Поэтому площадь сечения будет зависеть от "b" и не будет иметь конкретного числового значения.

Таким образом, площадь сечения прямой призмы будет выражаться как $\sqrt{b^2 + 12} \cdot 3$ при условии, что "b" может принимать любые значения.