Question

100 баллов! В правильной треугольной пирамиде апофема создает с её высотой угол Альфа. Если отрезок, которые соединяет основание высоты с серединой апофемы равно а, то чему равна площадь основания пирамиды? Решение обязательно с рисунком.

Answer 1

В правильной треугольной пирамиде апофема создает с её высотой угол Альфа. Если отрезок, которые соединяет основание высоты с серединой апофемы равно а, то чему равна площадь основания пирамиды?

РЕШЕНИЕ:

• Рассмотрим тр. SED (угол SDE = 90°):
В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, равна её половине =>
SE = 2 • KD = 2a
[email protected] = ED / SE => ED = [email protected] • SE = 2a•[email protected]
• Рассмотрим тр. АВС ( равносторонний ):
BE = 3 • ED = 3 • 2a•[email protected] = 6a•[email protected]
АС = 2V3ВЕ / 3 = 2V3 • 6a•[email protected] / 3 = [email protected]

S abc = AC^2 • V3 / 4 = ( [email protected] )^2 • V3 / 4 = 16 • 3 • a^2 • ( [email protected] )^2 • V3 / 4 = 12V3•a^2•([email protected])^2


ОТВЕТ: 12V3•a^2•([email protected])^2

Answer 2

Спасибо за оценку! Для решения задачи нам нужно использовать геометрические свойства треугольной пирамиды и триугольника, образованного основанием пирамиды, его серединой и точкой, где апофема пересекает высоту. Давайте разберемся.

Пусть ABCD - это правильная треугольная пирамида, где AB, BC и CA - это её боковые грани, а M - середина отрезка BC. Пусть h - высота пирамиды, а a - отрезок, который соединяет точку M с точкой пересечения высоты и апофемы. Тогда у нас есть следующий рисунок:

cssCopy code
       A
      / \
     /   \
    /  h  \
   /_______\
  B    M    C

Также у нас есть равнобедренный треугольник AMF, где F - точка пересечения высоты и апофемы, и угол AMF равен углу A.

bashCopy code
      A
     / \
    /   \
  F/_____\
   \     /
    \   /
     \ / M
      C

Теперь мы можем использовать триугольник AMF, чтобы найти отношение длины отрезка FM к длине отрезка AM.

Мы знаем, что в равнобедренном треугольнике AMF угол AMF (то есть угол Aльфа) равен углу MAF (поскольку AM и AF - это радиусы пирамиды, и углы при радиусах равны). Поскольку угол AMF равен углу A, мы можем записать:

Угол AMF = Угол A

Теперь рассмотрим треугольник AMF. У нас есть два известных отношения:

1. FM - половина a (так как M - это середина отрезка BC, и длина а равна отрезку MC).
2. Угол AMF = Угол A

Теперь, используя закон синусов в треугольнике AMF, мы можем записать:

sin(AMF) / FM = sin(A)

Но sin(AMF) = sin(A) (как мы обсуждали выше), так что:

sin(A) / FM = sin(A)

Теперь сократим sin(A) с обеих сторон:

1 / FM = 1

Следовательно, FM = a.

Теперь у нас есть значение FM, и мы можем найти длину AF, используя факт, что AMF - равнобедренный треугольник:

AF = FM = a.

Теперь у нас есть длина отрезка AF, который является половиной апофемы. Чтобы найти длину апофемы (FQ), умножим AF на 2:

FQ = 2 * AF = 2 * a.

Теперь у нас есть значение апофемы (FQ) и высоты (h) пирамиды. Площадь основания пирамиды можно вычислить, используя формулу:

Площадь основания = (1/2) * апофема * периметр основания.

Так как у нас правильная треугольная пирамида, периметр основания равен 3 * сторона:

Площадь основания = (1/2) * FQ * (3 * a) = 3/2 * a * FQ.

Теперь подставим значение FQ:

Площадь основания = 3/2 * a * (2 * a) = 3a^2.

Таким образом, площадь основания пирамиды равна 3a^2.