Question

В треугольнике ABC на сторонах AB и BC соответственно выбраны точки M и N так, что AM=2MB и BN=NC . Отрезки AN и CM пересекаются в точке P. Найдите площадь четырехугольника MBNP , если известно, что площадь треугольника ABC составляет 30.

Answer 1

Bn=5cm

Bm=1/3cm

Mp=2.5cm

Pn=5cm

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте найдем отношение площадей треугольников AMN и ABC, а затем найдем площадь четырехугольника MBNP.

Пусть S(AMN) - площадь треугольника AMN, и S(ABC) - площадь треугольника ABC.

Заметим, что треугольники AMN и ABC имеют общую высоту, проведенную из вершины A. Кроме того, отношение площадей треугольников равно отношению соответствующих оснований.

Так как AM = 2MB, то отношение длин оснований треугольников AMN и ABC равно 1:3. Аналогично, так как BN = NC, то отношение длин оснований треугольников ABC и CMN также равно 1:3.

Теперь мы можем найти отношение площадей треугольников AMN и ABC:

S(AMN) : S(ABC) = (1/3) : 1 = 1 : 3

Аналогично, отношение площадей треугольников CMN и ABC:

S(CMN) : S(ABC) = (1/3) : 1 = 1 : 3

Теперь, используя свойство, что площадь четырехугольника равна сумме площадей двух треугольников, в которые он разбивается, найдем площадь четырехугольника MBNP:

S(MBNP) = S(AMN) + S(CMN)

S(MBNP) = (1/3) * S(ABC) + (1/3) * S(ABC)

S(MBNP) = (2/3) * S(ABC)

Теперь, подставим значение S(ABC) = 30:

S(MBNP) = (2/3) * 30

S(MBNP) = 20

Ответ: Площадь четырехугольника MBNP равна 20.