Question

Площина перетинає кулю. Діаметр кулі, проведений з однієї з точок ліній перетину, утворює з площиною кут 45°. Знайти площу перерізу, якщо діаметр кулі дорівнює 4√3 см

Answer 1

Проведём плоскость через радиус R сферы перпендикулярно плоскости сечения. Получим плоский угол между диаметром сферы и секущей плоскостью.

Радиус r сечения (а любое сечение сферы - окружность) равен:

r = R*cos 45° = 4√3*(√2/2) = 2√6 см.

Площадь сечения S = πr² = π*24 см².

Answer 2

Для знаходження площі перерізу площини з кулею ми можемо використовувати знання про те, що діаметр кулі, проведений через одну з точок лінії перетину, утворює з площиною кут 45°. Зауважимо, що це є особливий випадок, коли діаметр є хордою, перпендикулярною до площини перерізу.

Знаючи діаметр кулі, ми можемо знайти її радіус. Діаметр кулі дорівнює 4√3 см, тому радіус кулі (r) дорівнює половині діаметра:

r = (4√3 см) / 2 = 2√3 см

Тепер ми можемо побудувати прямокутний трикутник, використовуючи радіус кулі як гіпотенузу, а відрізок, який поєднує центр кулі з точкою перетину площини, як одну з катетів. Оскільки кут між радіусом кулі і площиною перерізу дорівнює 45°, а інший кут у прямокутному трикутнику дорівнює 90°, то кут між радіусом кулі і цією лінією (площиною перерізу) також дорівнює 45°.

Таким чином, у нас прямокутний трикутник зі сторонами 2√3 см, 2√3 см та гіпотенузою 2√3 см. Ми можемо знайти площу перерізу як площу цього прямокутного трикутника.

Площа прямокутного трикутника обчислюється за формулою: Площа = (катет1 * катет2) / 2.

У нашому випадку катет1 = катет2 = 2√3 см, тому:

Площа перерізу = (2√3 см * 2√3 см) / 2 = (2 * 3 см^2) / 2 = 3 см^2.

Таким чином, площа перерізу площини з кулею становить 3 квадратних сантиметри.