Question

Дано: SтреугольникаEPF=20, EP=PF, уголEPF=30°, найдите: EP

Answer 1

Решение на фотографии

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобятся знания о свойствах треугольников и тригонометрии. Давайте обозначим заданный треугольник:

- \(EPF\) - треугольник, где \(EP = PF\) - \(\angle EPF = 30^\circ\) - \(\angle EFP = \angle FEP = x\) (дополнительные углы в треугольнике)

Так как \(\angle EPF = 30^\circ\), а \(EP = PF\), то треугольник \(EPF\) - равнобедренный треугольник. Это означает, что углы \(\angle EFP\) и \(\angle FEP\) равны. Обозначим их оба через \(x\).

Таким образом, у нас есть следующая система уравнений:

\[ x + x + 30^\circ = 180^\circ \]

Решив это уравнение, мы найдем значение угла \(x\).

\[ 2x + 30^\circ = 180^\circ \]

\[ 2x = 150^\circ \]

\[ x = 75^\circ \]

Теперь у нас есть значение угла \(\angle EFP\) (или \(\angle FEP\)) - \(75^\circ\).

Так как треугольник равнобедренный, у нас также есть \(\angle EPF = 30^\circ\). Таким образом, у нас есть три угла треугольника \(EPF\): \(75^\circ\), \(75^\circ\), \(30^\circ\).

Теперь мы можем использовать правило суммы углов треугольника:

\[ \angle EPF + \angle EFP + \angle FEP = 180^\circ \]

\[ 30^\circ + 75^\circ + 75^\circ = 180^\circ \]

Теперь у нас есть значения всех углов треугольника \(EPF\). Из этого треугольника мы видим, что сторона \(EP\) противолежащая углу \(30^\circ\).

Теперь мы можем использовать тригонометрические отношения в прямоугольном треугольнике (так как у нас есть прямоугольник \(90^\circ\), \(30^\circ\), \(60^\circ\)).

В данном случае, мы можем использовать тангенс угла:

\[ \tan(30^\circ) = \frac{{\text{{противолежащий катет}}}}{{\text{{прилежащий катет}}}} \]

\[ \tan(30^\circ) = \frac{{EP}}{{PF}} \]

Мы знаем, что \(EP = PF\), поэтому:

\[ \tan(30^\circ) = \frac{{EP}}{{EP}} \]

\[ \tan(30^\circ) = 1 \]

Теперь, чтобы найти \(EP\), мы можем использовать тот факт, что \(\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}/3}\):

\[ 1 = \frac{{EP}}{{EP}} \times \frac{3}{{\sqrt{3}}} \]

\[ \sqrt{3} = EP \]

Таким образом, мы нашли, что длина стороны \(EP\) равна \(\sqrt{3}\).