Question

В трапеції ABCD менша основа BСдорівнює бічним сторонам, СН – висота. Р – основа перпендикуляра, який опущено з точки Н на пряму АС. Знайдіть відношення, в якому діагональ BD поділяє відрізок РН.

Answer 1

РH перетинає ВD у точці N. Чотирикутник NHDC є вписаним, тоді  

кут СND  = 90 градусів. СN – висота рівнобедреного трикутника BCD.  

Answer 2

Для того щоб знайти відношення, в якому діагональ BD трапеції ABCD поділяє відрізок РН, спочатку розглянемо властивості подібних трикутників.

Припустимо, що точка перетину діагоналі BD і відрізка РН позначається як Т.

Оскільки трапеція ABCD має меншу основу BC, яка дорівнює бічним сторонам AD та BC, то вона є правильною трапецією. Це означає, що кути BCD і BАD є прямими кутами.

Також за властивостями правильних трапецій, можна зазначити, що трикутники BCD і BАD є подібними.

Оскільки BCD і BАD - подібні трикутники, вони мають спільний кут при вершині B. З цього випливає, що співвідношення сторін цих трикутників дорівнює співвідношенню відповідних сторін:

$\frac{BC}{BA} = \frac{CD}{AD}$.

Знаючи, що BC = AD, це спрощується до:

$\frac{BC}{BA} = \frac{CD}{BC}$.

Тепер, звернемо увагу на трикутник BНТ та подібний йому трикутник РНТ:

Так як трикутники BCD і BАD є подібними, а висота СH є спільною для трикутників BCD та BАD, отже:

$\frac{CD}{BC} = \frac{CH}{BA}$.

Тепер змінимо позначення в співвідношенні для трикутників BНТ та РНТ:

$\frac{CH}{BA} = \frac{HN}{BR}$.

Таким чином, об'єднавши два рівняння, ми отримаємо співвідношення між сторонами РН та BD:

$\frac{BC}{BA} = \frac{CD}{BC} = \frac{CH}{BA} = \frac{HN}{BR}$.

Тепер зрозуміло, що відношення, в якому діагональ BD поділяє відрізок РН, дорівнює:

$\frac{HN}{BR} = \frac{1}{2}$.

Отже, діагональ BD поділяє відрізок РН у відношенні 1:2.