Question

Составьте каноническое уравнение гиперболы, если ее асимптоты задаются уравнениями x-3y+7=0 и x+3y-5=0 , а одна из директрис совпадает с осью ординат

Answer 1

Находим центр гиперболы как точку пересечения асимптот x-3y+7=0 и x+3y-5=0.

x-3y+7=0

x+3y-5=0  Сложим:

2х + 2 = 0.   Отсюда х = -2/2 =-1,   у = (х + 7)/3 = (-1 + 7)/3 = 2.

Центр - это точка (-1; 2). Директриса по заданию - ось Оу.

Расстояние от центра до директрисы равно а/е = 1, отсюда а = е, где а - это расстояние от центра до вершины.

Расстояние от фокуса до асимптоты гиперболы называется прицельным параметром.  Обычно обозначается b.

Расстояние от центра гиперболы до одного из фокусов называется фокальным расстоянием.  Обычно обозначается c.

Отношение в/а равно тангенсу угла α  наклона асимптоты к оси Ох.

Из задания следует, что tg α = +-(1/3).

Для гиперболы известно соотношение: в²/а² = е² - 1.

Отсюда находим е и, равное ему а: (1/3)² = е² - 1.

Отсюда е = √((1/9) + 1) = √10/3 = а.

Находим параметр в = а*tg α = (√10/3)*(1/3) = √10/9.

Получаем уравнение гиперболы:

(х + 1)²/(10/9) - (у - 2)²/(10/81) = 1.

Answer 2

Для составления канонического уравнения гиперболы с данными условиями, мы должны выполнить следующие шаги:

1. Найдем уравнение оси симметрии гиперболы, которая совпадает с осью ординат.
2. Найдем координаты вершин гиперболы (точки пересечения асимптот с осью симметрии).
3. Используем полученные данные для составления канонического уравнения.

Шаг 1: Уравнение оси симметрии гиперболы Поскольку одна из директрис совпадает с осью ординат, это означает, что гипербола симметрична относительно оси y (ось ординат). Уравнение оси симметрии имеет вид x = h, где h - координата точки пересечения оси симметрии с осью x.

Так как гипербола проходит через точку пересечения асимптот (0, 0), уравнение оси симметрии будет x = 0.

Шаг 2: Координаты вершин гиперболы (точки пересечения асимптот с осью симметрии) Для этого, решим систему уравнений асимптот:

x - 3y + 7 = 0 ...(1) x + 3y - 5 = 0 ...(2)

Решим систему уравнений (1) и (2) методом сложения или вычитания:

(1) + (2): x - 3y + 7 + x + 3y - 5 = 0 2x + 2 = 0 2x = -2 x = -1

Подставим x в уравнение (1): (-1) - 3y + 7 = 0 -3y + 6 = 0 -3y = -6 y = 2

Таким образом, координаты точки пересечения асимптот: (-1, 2).

Шаг 3: Составление канонического уравнения гиперболы Каноническое уравнение гиперболы с центром в точке (h, k) имеет следующий вид:

[(x - h)^2 / a^2] - [(y - k)^2 / b^2] = 1

где a и b - полуоси гиперболы.

Так как гипербола симметрична относительно оси y (ось ординат) и проходит через точку (-1, 2), центр гиперболы будет в точке (0, 2).

Теперь найдем полуоси гиперболы a и b. Полуоси гиперболы связаны с уравнениями асимптот следующим образом:

a = расстояние от центра до пересечения гиперболы с асимптотой b = расстояние от центра до пересечения гиперболы с другой директрисой

Рассчитаем a и b:

a = расстояние от центра (0, 2) до асимптоты x - 3y + 7 = 0 a = |0 - 3(2) + 7| / sqrt(1^2 + (-3)^2) = 1

b = расстояние от центра (0, 2) до другой директрисы x + 3y - 5 = 0 b = |0 + 3(2) - 5| / sqrt(1^2 + 3^2) = 2

Теперь можем записать каноническое уравнение гиперболы:

[(x - 0)^2 / 1^2] - [(y - 2)^2 / 2^2] = 1

Итак, каноническое уравнение гиперболы с заданными условиями:

x^2 - (y - 2)^2 / 4 = 1