Question

Два равнобедренный треугольника. Найдите отношение радиусов вписанной и описанной окружности, если угол при вершине равен B

Answer 1

Пусть угол при основании b, длина основания L, радиусы r и R;

2*b = 180 - a; b = 90 - a/2; b/2 = 45 - a/4;

L = 2*R*sin(a); теорема синусов.

r /(L/2) = tg(b/2); центр вписаной окужности лежит на биссектрисе.

r = R*sin(a)*tg(b/2);

r/R = sin(a)tg(45 - a/4); ну, вообще то это уже ответ :))) упростим. Я из чувства лени :)) просмотрел вагон сайтов с формулами, но почему то связь между тангенсом угла и функциями двойного угла не нашел, хотя всегда считал это табличными формулами.. Странно, но получаются они элементарно. Умножаем и делим на 2*соs(45 - a/4);

r/R = sin(a)*(2*sin(45 - a/4)*cos(45 - a/4))/((2*(cos(45 - a/4))^2) - 1 + 1);

r/R = sin(a)*sin(90-a/2)/(cos(90 - a/2)+1) = sin(a)*cos(a/2)/(sin(a/2)+1);

Дальше упрощать смысла нет.

для равностороннего треугольника r/R = 1/2, формула дает ту же величину.

Answer 2

Для решения этой задачи нам потребуется знание некоторых свойств равнобедренных треугольников и их вписанных и описанных окружностей.

Пусть у нас есть два равнобедренных треугольника с углом при вершине B. Пусть R1 и r1 - радиусы описанной и вписанной окружностей первого треугольника, а R2 и r2 - радиусы описанной и вписанной окружностей второго треугольника.

Свойство 1: В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при вершине также является медианой и высотой.

Свойство 2: В равнобедренном треугольнике с углом при вершине B биссектриса угла B делит основание на две равные части.

Свойство 3: Диаметр описанной окружности равнобедренного треугольника проходит через середину основания (основания - это сторона, противоположная вершине B).

Теперь рассмотрим первый треугольник:

1. Опишем окружность вокруг него. По свойству 3, диаметр проходит через середину основания и через вершину B. Это означает, что сторона, противоположная вершине B, является диаметром описанной окружности, и радиус описанной окружности равен R1.

2. Проведем биссектрису угла B. По свойству 2, эта биссектриса делит основание на две равные части, и эта точка пересечения лежит на описанной окружности. Таким образом, расстояние от центра описанной окружности до стороны с углом B равно r1.

Теперь рассмотрим второй треугольник:

3. Опишем окружность вокруг него. Аналогично первому треугольнику, радиус описанной окружности равен R2.

4. Проведем биссектрису угла B. Аналогично первому треугольнику, расстояние от центра описанной окружности до стороны с углом B равно r2.

Теперь, чтобы найти отношение радиусов вписанной и описанной окружности для этих двух треугольников, нам нужно выразить r1 и r2 через R1 и R2.

Для равнобедренного треугольника верно следующее соотношение между радиусом описанной окружности (R) и радиусом вписанной окружности (r):

r = R * cos(B/2)

Теперь можем записать:

Отношение радиусов вписанной и описанной окружности для первого треугольника:

r1 = R1 * cos(B/2)

Отношение радиусов вписанной и описанной окружности для второго треугольника:

r2 = R2 * cos(B/2)

Таким образом, отношение радиусов будет равно:

(r1 / R1) : (r2 / R2) = (R1 * cos(B/2)) / (R2 * cos(B/2)) = R1 / R2

Ответ: Отношение радиусов вписанной и описанной окружности равнобедренных треугольников с углом при вершине B равно R1 / R2.