Question

Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны АВ и ВС в точках М и N соответственно, АС-18,MN-8.Площадь треугольника АВС равна 81.Найдите площадь треугольника MBN

Answer 1

Ответ:

Smbn = 16 ед².

Объяснение:

Треугольники АВС и МBN подобны по двум углам, так как MN параллельна АС и ∠А = ∠М, как соответственные при параллельных прямых, а ∠В - общий. Тогда коэффициент подобия равен

k = MN/AC = 8/18 = 4/9.

Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента их подобия, то есть Smbn/Sabc = k² =(4/9)² =16/81. Тогда

Smbn = Sabc·k² = 81·16/81 = 16 ед².

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойством подобных треугольников. Поскольку прямая MN параллельна стороне AC треугольника ABC, то треугольники ABC и MBN подобны.

Площадь подобных треугольников соотносится как квадраты их соответствующих сторон.

Пусть x - длина отрезка AM, тогда MN = AC - x = 18 - x.

Так как площадь треугольника равна половине произведения длин сторон на синус угла между ними, то можно написать следующее:

Площадь треугольника ABC / Площадь треугольника MBN = (AB * AC * sin(∠BAC)) / (MB * MN * sin(∠BMN))

Подставим известные значения:

81 / S(МBN) = (AB * 18 * sin(∠BAC)) / (AB * (18 - x) * sin(∠BMN))

Заметим, что сторона AB сокращается, и у нас остается:

81 / S(МBN) = 18 / (18 - x)

Теперь найдем x. Для этого воспользуемся площадью треугольника ABC:

81 = (1/2) * AB * AC * sin(∠BAC)

Подставим значения:

81 = (1/2) * AB * 18 * sin(∠BAC)

AB * sin(∠BAC) = 9

Теперь можно выразить sin(∠BMN):

sin(∠BMN) = sin(∠BAC) = 9 / AB

Вернемся к уравнению, связывающему x и sin(∠BMN):

81 / S(МBN) = 18 / (18 - x)

81 = (18 - x) * (S(МBN) / 18)

(18 - x) = 81 * (18 / S(МBN))

x = 18 - 81 * (18 / S(МBN))

Теперь подставим найденное значение x в уравнение для sin(∠BMN):

sin(∠BMN) = 9 / AB

sin(∠BMN) = 9 / (18 - x)

sin(∠BMN) = 9 / (18 - (18 - 81 * (18 / S(МBN))))

sin(∠BMN) = 9 / (81 * (18 / S(МBN)))

sin(∠BMN) = 1 / (9 * (2 / S(МBN)))

sin(∠BMN) = S(МBN) / 18

Теперь полученное уравнение решим относительно S(МBN):

S(МBN) / 18 = S(МBN) / 18

Это уравнение верно для любого значения S(МBN), следовательно, площадь треугольника MBN может быть любой.

Ответ: площадь треугольника MBN может принимать любое значение.