Question

1)Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает стороны АВ и ВС в точках Е и К соответственно, ВЕ=8 см., АВ 12 см., ВК= 6 см., ВС= 9 см.,ЕК= 10 см. Чуму равна сторона АС?2)Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает стороны АВ и ВС в точках М и Н соответственно, МВ= 2 см., АМ= 14 см., МН= 4 см.Чему равна длина стороне АС?СРОЧНО НАДО РЕШИТЬ

Answer 1

1.
АВ : ЕВ = СВ : КВ = 3 : 2,
угол В общий для треугольников АВС и ЕВК, значит
ΔАВС подобен ΔЕВК по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.
k = 3/2
АС : ЕК = 3 : 2
АС = 3 · 10 / 2 = 15 см

2.
МН║АС, значит ∠ВМН = ∠ВАС как соответственные углы при пересечении параллельных прямых МН и АС секущей АВ;
∠В - общий для треугольников АВС и МВН, значит
ΔАВС подобен ΔМВН по двум углам.
АВ = 14 + 2 = 16 см

АВ : МВ = АС : МН
16 : 2 = АС : 4
АС = 16 · 4 / 2 = 32 см

Answer 2

1. По теореме Талеса для треугольника $ABE$ и прямой, параллельной стороне $AC$, имеем: $\frac{AE}{EB}=\frac{AC}{BC}$ Так как прямая параллельна стороне $AC$, то $\frac{AE}{EB}=\frac{AK}{KC}$ по теореме Талеса для треугольника $BCK$ и прямой, параллельной стороне $AC$. Значит, $\frac{AK}{KC}=\frac{AE}{EB}=\frac{12+8}{9}=2$ Отсюда следует, что $AK=2KC$. Пусть $x$ -- длина стороны $AC$. Тогда по теореме Пифагора в треугольниках $ABK$ и $CKE$: $(12+8)^2+x^2=AK^2=4KC^2=(2x)^2$ $(9+10)^2+x^2=KC^2+KE^2=x^2+(8+6)^2$ Решая эту систему уравнений, получаем $x=13$.

Ответ: $AC=13$ см.

2. По теореме Талеса для треугольника $AMB$ и прямой, параллельной стороне $AC$, имеем: $\frac{AM}{MB}=\frac{AC}{BC}$ Так как прямая параллельна стороне $AC$, то $\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}$ по теореме Талеса для треугольника $BCN$ и прямой, параллельной стороне $AC$. Значит, $\frac{AN}{NC}=\frac{AM}{MB}=\frac{14}{2}=7$ Пусть $x$ -- длина стороны $AC$. Тогда по теореме Пифагора в треугольниках $ABM$ и $CNA$: $2^2+(14+4)^2=MB^2+AM^2=x^2+\left(\frac{7}{8}x\right)^2$ $(4+14)^2+4^2=NC^2+AN^2=x^2+\left(\frac{1}{8}x\right)^2$ Решая эту систему уравнений, получаем $x=16$.

Ответ: $AC=16$ см.