Question

1.В треугольнике ABC угол С 90 sin А= 9/41 . Найдите tg угла А 2. В треугольнике ABC угол С 90 tg А= корень из 3/3. Найдите cos угла А

Answer 1

1. cosA=корень(1-9/41*9/41)=40/41

tgA=sinA/cosA=9/41:40/41=9/40

2. A=30°, cosA=√3/3

Answer 2

Для решения обоих задач, нам понадобятся соотношения между тригонометрическими функциями в прямоугольном треугольнике ABC.

В прямоугольном треугольнике с углом А, противолежащим катету BC и углом С, противолежащим гипотенузе AB, имеются следующие тригонометрические отношения:

1. sin(A) = противолежащий катет / гипотенуза
2. cos(A) = прилежащий катет / гипотенуза
3. tg(A) = противолежащий катет / прилежащий катет

Теперь решим каждую задачу по порядку:

1. Угол А имеет синус, равный 9/41. По определению синуса:

sin(A) = противолежащий катет / гипотенуза

sin(A) = BC / AB

Из задачи известно, что угол С равен 90 градусам, что делает треугольник ABC прямоугольным.

sin(A) = 9/41

9/41 = BC / AB

Теперь нам нужно найти tg(A):

tg(A) = противолежащий катет / прилежащий катет

tg(A) = BC / AC

Из прямоугольного треугольника:

AB^2 = BC^2 + AC^2

AB^2 - BC^2 = AC^2

AC = √(AB^2 - BC^2)

AC = √(41^2 - 9^2) = √(1681 - 81) = √1600 = 40

Теперь можем найти tg(A):

tg(A) = BC / AC

tg(A) = 9 / 40

2. Угол А имеет тангенс, равный √3/3. По определению тангенса:

tg(A) = противолежащий катет / прилежащий катет

tg(A) = BC / AC

Мы можем использовать тот же прямоугольный треугольник ABC для нахождения длины гипотенузы AB:

AB^2 = BC^2 + AC^2

AB^2 - BC^2 = AC^2

AC = √(AB^2 - BC^2)

AC = √(3^2 - 1) = √(9 - 1) = √8 = 2√2

Теперь можем найти tg(A):

tg(A) = BC / AC

√3/3 = BC / (2√2)

Для удобства, умножим обе части на √2:

(√2 * √3) / 3 = BC

√6 / 3 = BC

BC = √6 / 3

Теперь можем найти cos(A):

cos(A) = прилежащий катет / гипотенуза

cos(A) = AC / AB

cos(A) = (2√2) / √6

Для упрощения выражения, умножим обе части на √2:

(2√2 * √2) / √6 = 2√4 / √6 = 2√(4/6) = 2√(2/3)

Таким образом, cos(A) = 2√(2/3).