Question

теорема о точках плоскости, лежащих по одну сторону от данной прямой и равноудаленных от этой прямой помогите пж спасибо:)

Answer 1

На одной плоскости не лежащей на прямой, может быть проведена только одна прямая параллельная данной, и притом , только одна

Answer 2

Конечно! Такая теорема называется "теоремой о равноудаленных точках".

Теорема о равноудаленных точках:

Пусть дана прямая линия (назовем её АВ) и точка С, не лежащая на этой прямой. Если существует такая точка D в плоскости, что она лежит по одну сторону от прямой АВ и равноудалена от точек A и B этой прямой, то все точки плоскости, равноудаленные от точек A и B, образуют прямую перпендикулярную к прямой АВ и проходящую через точку С.

Геометрический смысл теоремы:

Дана прямая АВ и точка С вне этой прямой. Предположим, что существует точка D, которая находится по одну сторону от прямой АВ и при этом находится на равном расстоянии от точек A и B. Тогда, если мы возьмем любую другую точку М, находящуюся на том же расстоянии от точек A и B, прямая МD будет перпендикулярна к прямой АВ.

Доказательство:

Пусть точка D находится на равном расстоянии от точек A и B. Тогда расстояние от D до A обозначим как r, и расстояние от D до B также обозначим как r. Таким образом, AD = BD = r.

Теперь рассмотрим произвольную точку М, такую что AM = BM = r. Нам нужно показать, что прямая МD перпендикулярна к прямой АВ.

Посмотрим на треугольники AMD и BMD. У нас есть:

1. AD = BD (по условию)
2. AM = BM (по выбору точки М)
3. MD - общая сторона.

По двум сторонам, равным третья сторона также равна (по свойству треугольника с равными сторонами). Таким образом, MD = MD, что означает, что треугольники AMD и BMD равны по стороне-стороне-стороне (ССС).

Следовательно, углы MAD и MBD также равны. Обозначим их как α.

Теперь рассмотрим треугольники AMC и BMC:

1. AM = BM (по выбору точки М)
2. AC = BC (по свойству равноудаленных точек)
3. Углы MAC и MBC также равны α (по равенству углов MAD и MBD)

Теперь у нас есть два равных треугольника AMC и BMC, у которых равны гипотенузы AM и BM, а также равны прилежащие к ним углы α. Это означает, что углы между гипотенузами и основаниями (то есть углы АМD и ВМD) этих треугольников также равны.

Но углы АМD и ВМD являются соответственными углами при параллельных прямых АВ и МD, так как угол α - общий угол, а AD = BD и AM = BM (по условию и выбору точки М). Поэтому эти углы равны друг другу.

Таким образом, у нас есть две пары равных углов между параллельными прямыми АВ и МD, что делает эти прямые перпендикулярными.

Таким образом, прямая МD перпендикулярна к прямой АВ и проходит через точку С, что и требовалось доказать.