Question

В треугольнике ABC медиана AD равна половине стороны BC. Докажите, что треугольник ABC Прямоугольный И всё

Answer 1

.....................mm

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся теоремой о медиане треугольника, которая утверждает следующее:

"Медиана треугольника делит сторону, к которой она проведена, пополам, и её длина равна половине длины медианы, проведенной из вершины, противоположной данной стороне."

Из условия задачи дано, что медиана AD равна половине стороны BC:

AD = BC / 2

Также, поскольку медиана делит сторону пополам, то можно записать:

BD = DC = BC / 2

Теперь нам нужно показать, что треугольник ABC прямоугольный. Для этого рассмотрим четырехугольник ADBC:

Сумма углов внутри четырехугольника равна 360 градусов:

∠A + ∠D + ∠B + ∠C = 360°

Так как медианы четырехугольника пересекаются в одной точке и делятся пополам, каждая из них делит четырехугольник на два треугольника равных по площади. Обозначим точку пересечения медиан M.

Таким образом, можно записать:

Площадь треугольника ADM = Площадь треугольника CDM Площадь треугольника ABM = Площадь треугольника BCM

Это означает, что треугольники ADM и CDM имеют равную площадь, и треугольники ABM и BCM имеют равную площадь.

Теперь рассмотрим углы в данных треугольниках:

В треугольнике ADM:

∠A + ∠D + ∠M = 180° (сумма углов в треугольнике)

Так как ∠A + ∠D = 180° (угол при прямой линии), то:

∠M = 180° - (180°) = 0°

Аналогично, в треугольнике CDM:

∠C + ∠D + ∠M = 180°

Так как ∠C + ∠D = 180°, то:

∠M = 180° - (180°) = 0°

Таким образом, углы M в обоих треугольниках ADM и CDM равны 0°.

Теперь рассмотрим углы в треугольниках ABM и BCM:

В треугольнике ABM:

∠A + ∠B + ∠M = 180°

В треугольнике BCM:

∠B + ∠C + ∠M = 180°

Так как ∠M = 0° в обоих случаях, то:

∠A + ∠B = 180° ∠B + ∠C = 180°

Отсюда получаем:

∠A = ∠C

Теперь обратим внимание на треугольник ABC:

∠A + ∠B + ∠C = 180°

Заменим ∠A на ∠C:

∠C + ∠B + ∠C = 180°

2∠C + ∠B = 180°

∠B = 180° - 2∠C

Также мы знаем, что медиана AD равна половине стороны BC:

AD = BC / 2

Теперь применим теорему Пифагора к треугольнику ABD:

AB^2 = AD^2 + BD^2

AB^2 = AD^2 + (BC/2)^2

AB^2 = AD^2 + BC^2 / 4

Аналогично, для треугольника BDC:

BC^2 = BD^2 + DC^2

BC^2 = (BC/2)^2 + DC^2

BC^2 = BC^2 / 4 + DC^2

Так как BD = DC = BC / 2:

BC^2 = BC^2 / 4 + BC^2 / 4

BC^2 = BC^2 / 2

BC^2 = 2 * BC^2 / 4

Теперь заменим BC^2 в первом уравнении:

AB^2 = AD^2 + BC^2 / 4

AB^2 = AD^2 + 2 * BC^2 / 4

AB^2 = AD^2 + BC^2 / 2

Теперь мы знаем, что AD^2 = BC^2 / 2, поскольку медиана AD равна половине стороны BC:

AB^2 = BC^2 / 2 + BC^2 / 2

AB^2 = BC^2

Теперь у нас есть равенство:

AB^2 = BC^2

Это означает, что треугольник ABC является прямоугольным, поскольку у него есть прямой угол между сторонами AB и BC.

Также, так как углы A и C равны, а угол B прямой, то треугольник ABC является равнобедренным.

Таким образом, мы доказали, что треугольник ABC является прямоугольным и равнобедренным.