Question

Пожалуйста, задача очень важная. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Известно, что AB:BC:CD:DA=1:2:8:7. Найдите величины ∠A, ∠B, ∠C и ∠D.​

Answer 1

1) Так как четырёхугольник вписан в окружность, то сумма противоположных углов равна 180 градусам. 

2) Отношения дуг окружности 1:2:8:7 соответствует отношениям углов четырёхугольника , тогда углы равны 1x, 2x, 8x,7x.

3) Учитывая пункт 1) , получим x+8x =180

                                                9x=180

                                                  x=20

тогда 2x=40

         7x=140

        8x=160

Ответ: 20,40,160,140 градусов. 

Answer 2

Для решения данной задачи, нам понадобятся некоторые свойства вписанных четырехугольников.

Пусть углы ∠A, ∠B, ∠C и ∠D соответственно обозначают углы в вершинах A, B, C и D.

Свойство 1: Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Таким образом, у нас есть следующие соотношения между углами и дугами: ∠A = 1/2 * дуга CD ∠B = 1/2 * дуга DA ∠C = 1/2 * дуга AB ∠D = 1/2 * дуга BC

Свойство 2: Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°.

Из этих свойств мы можем составить систему уравнений для нахождения углов.

Пусть x обозначает величину дуги AB (так как AB:BC:CD:DA=1:2:8:7, можно считать, что дуга AB имеет длину x).

Тогда длины других дуг будут: Дуга BC = 2x Дуга CD = 8x Дуга DA = 7x

Сумма длин всех дуг окружности равна 360°, поэтому: x + 2x + 8x + 7x = 360° 18x = 360° x = 360° / 18 x = 20°

Теперь можем найти значения углов: ∠A = 1/2 * дуга CD = 1/2 * 8x = 1/2 * 8 * 20° = 80° ∠B = 1/2 * дуга DA = 1/2 * 7x = 1/2 * 7 * 20° = 70° ∠C = 1/2 * дуга AB = 1/2 * x = 1/2 * 20° = 10° ∠D = 1/2 * дуга BC = 1/2 * 2x = 1/2 * 2 * 20° = 20°

Таким образом, ответ: ∠A = 80° ∠B = 70° ∠C = 10° ∠D = 20°