Question

В треугольнике ABC проведен отрезок BK＝5√3 см, AB＝7 см, AK＝2 см, KC＝4 см. Найти BC.

Answer 1

Как понять BK＝5√3 какой класс?

Answer 2

Для решения данной задачи нам потребуется использовать теорему косинусов. Дана сторона треугольника AB, длины отрезков BK, AK и KC. Найдем длину стороны BC.

Теорема косинусов утверждает следующее:

В треугольнике с сторонами a, b и c и углом α против стороны a, косинус этого угла можно найти по формуле: $\cos(\alpha) = \frac{{b^2 + c^2 - a^2}}{{2bc}}$

Для нашего треугольника:

AB = 7 см AK = 2 см KC = 4 см BK = 5√3 см

Искомая сторона BC обозначена как x.

Теперь, найдем косинус угла B по формуле:

$\cos(\angle B) = \frac{{AK^2 + BK^2 - AB^2}}{{2 \cdot AK \cdot BK}}$

$\cos(\angle B) = \frac{{2^2 + (5\sqrt{3})^2 - 7^2}}{{2 \cdot 2 \cdot 5\sqrt{3}}}$

$\cos(\angle B) = \frac{{4 + 75 - 49}}{{10\sqrt{3}}}$

$\cos(\angle B) = \frac{{30}}{{10\sqrt{3}}}$

$\cos(\angle B) = \frac{{3}}{{\sqrt{3}}}$

Теперь найдем угол B, взяв обратный косинус от полученного значения:

$\angle B = \arccos\left(\frac{{3}}{{\sqrt{3}}}\right)$

$\angle B \approx 30^\circ$

Теперь, зная угол B, мы можем найти сторону BC с использованием той же теоремы косинусов:

$\cos(\angle C) = \frac{{BK^2 + KC^2 - BC^2}}{{2 \cdot BK \cdot KC}}$

$\cos(\angle C) = \frac{{(5\sqrt{3})^2 + 4^2 - BC^2}}{{2 \cdot 5\sqrt{3} \cdot 4}}$

$\cos(\angle C) = \frac{{75 + 16 - BC^2}}{{40\sqrt{3}}}$

Теперь используем значение угла C, чтобы найти косинус этого угла:

$\cos(\angle C) = \cos(180^\circ - \angle B - \angle C)$

$\cos(\angle C) = \cos(180^\circ - 30^\circ - \angle C)$

$\cos(\angle C) = \cos(150^\circ - \angle C)$

$\cos(\angle C) = \cos(150^\circ) \cos(\angle C) + \sin(150^\circ) \sin(\angle C)$

$\cos(\angle C) = -\frac{{\sqrt{3}}}{2} \cos(\angle C) + \frac{1}{2} \sin(\angle C)$

$\frac{3}{2} \cos(\angle C) = \frac{1}{2} \sin(\angle C)$

$3 \cos(\angle C) = \sin(\angle C)$