Question

Найти угол между векторами а(1;3) и b(2;1).

Answer 1

ᅠᅠᅠᅠᅠᅠᅠᅠᅠᅠᅠᅠᅠᅠᅠᅠᅠᅠᅠᅠ

Answer 2

1) найдем скалярное произведение векторов a*b=1*2+3*1=5
2) найдем длину вектора а=√(1^2+3^2)=√10
3) найдем длину вектора b=√(2^2+1^2)=√5
cosa=ab/(a*b) = 5/(√10*√5)=5/√50=5/5√2=1/√2=√2/2 (45°)

Answer 3

Для нахождения угла между двумя векторами $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$, можно воспользоваться следующей формулой:

$\cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\|},$

где $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$ - скалярное произведение векторов $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$, а $\|\mathbf{a}\|$ и $\|\mathbf{b}\|$ - их длины (модули).

Сначала найдем скалярное произведение:

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 1 \cdot 2 + 3 \cdot 1 = 2 + 3 = 5.$

Теперь найдем длины векторов:

$\|\mathbf{a}\| = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10},$

$\|\mathbf{b}\| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}.$

Теперь можем вычислить угол $\theta$:

$\cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\|} = \frac{5}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{5}{\sqrt{25 \cdot 2}} = \frac{5}{5 \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}.$

Теперь найдем значение угла $\theta$ через обратный косинус:

$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \approx 45^\circ.$

Таким образом, угол между векторами $\mathbf{a}(1;3)$ и $\mathbf{b}(2;1)$ примерно равен $45^\circ$.