Question

Из вершины D квадрата ABCD со стороной а к его плоскости проведен перпен-яр DK=а√3. Найдите площадь треугольника АКВ и расстояние между скрещивающимися прямыми ВС и АК.

Answer 1

Пусть D - начало координат.

Ось Х - DA

Ось У - DC

Ось Z - DK

Вектора

АВ ( 0; а ; 0 )

АК ( -а ; 0 ; а√3 )

ВС ( -а ; 0 ; 0)

S (ABK) = 1/2 | ABxAK | = 1/2 √ (3a^4+a^4) = a^2

| AK ; BC | = | AB * AKxBC | / | AKxBC | = √3 a^3 / √ (3a^4) = a

Answer 2

Чтобы найти площадь треугольника AKV, давайте рассмотрим следующую схему:

cssCopy code
A------K
|     /
|    /
|   /
|  / h (высота треугольника AKV)
| /
V

Мы знаем, что треугольник AKV является прямоугольным, так как угол ADK прямой (поскольку DK перпендикулярен плоскости квадрата ABCD). Также из прямоугольного треугольника AKV можно определить, что:

1. Площадь треугольника AKV = (полупериметр треугольника AKV) * (высота треугольника AKV).
2. Полупериметр треугольника AKV = (длина AK + длина KV + длина AV) / 2.

Длина AK и KV равны стороне "а" квадрата ABCD, а длина AV равна диагонали квадрата ABCD.

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми ВС и АК, рассмотрим схему:

cssCopy code
A------K
|     /
|    / d (расстояние между ВС и АК)
|   /
|  /
| / 
V

Треугольник VKC также прямоугольный (по тем же причинам, что и треугольник AKV). Мы можем применить теорему Пифагора для нахождения расстояния между ВС и АК:

d^2 = VK^2 + VC^2

Теперь давайте подробнее рассмотрим каждый из расчетов.

1. Площадь треугольника AKV: Полупериметр треугольника AKV = (а + а + диагональ квадрата ABCD) / 2 = (а + а + а*√2) / 2 = а * (1 + √2) / 2

   Высота треугольника AKV = DK = а*√3

   Площадь треугольника AKV = (полупериметр треугольника AKV) * (высота треугольника AKV) = (а * (1 + √2) / 2) * (а*√3) = а^2 * √3 * (1 + √2) / 2

   Итак, площадь треугольника AKV = а^2 * √3 * (1 + √2) / 2.

2. Расстояние между скрещивающимися прямыми ВС и АК: VK = а (так как треугольник VKC является прямоугольным с катетами а и а).

   VC = диагональ квадрата ABCD = а*√2.

   Теперь, применяя теорему Пифагора: d^2 = VK^2 + VC^2 d^2 = а^2 + (а*√2)^2 d^2 = а^2 + 2а^2 d^2 = 3а^2

   Таким образом, расстояние между прямыми ВС и АК равно d = а√3.

Итак, площадь треугольника AKV равна а^2 * √3 * (1 + √2) / 2, а расстояние между прямыми ВС и АК равно а√3.