Question

В треугольнике ABC взяли произвольные точки О и М. До­ кажите, что AM + ВМ + СМ + ОМ > АО + ВО + СО. Прошу решить.

Answer 1

Скорее всего здесь используется неравенство треугольника. Но надо слева добавить виимо ккакую-то сторону. Точно не знаю, ложись спать

Answer 2

Для доказательства неравенства AM + BM + CM + OM > AO + BO + CO, воспользуемся неравенством треугольника.

Неравенство треугольника утверждает, что для любого треугольника длина любой стороны меньше суммы длин двух других сторон:

1. Для треугольника AMO: AM + MO > AO ...(1)

2. Для треугольника BMO: BM + MO > BO ...(2)

3. Для треугольника CMO: CM + MO > CO ...(3)

Теперь сложим все три неравенства:

(AM + MO) + (BM + MO) + (CM + MO) > AO + BO + CO

Упростим:

AM + BM + CM + 3*MO > AO + BO + CO

Так как MO = OM, можно записать:

AM + BM + CM + OM + OM + OM > AO + BO + CO

Теперь заметим, что AM + BM + CM + OM > AM + BM + CM + OM + OM, так как добавление положительного значения OM увеличивает обе стороны неравенства на одно и то же значение. Аналогично, AO + BO + CO < AO + BO + CO + OM + OM + OM.

Таким образом:

AM + BM + CM + OM > AM + BM + CM + OM + OM > AO + BO + CO + OM + OM > AO + BO + CO

Следовательно, AM + BM + CM + OM > AO + BO + CO, что и требовалось доказать.