Question

Сфориулируйте и докажите теорему о вписанных углах, опирающихся на полуокружность

Answer 1

Вписанный угол, опирающийся на полуокружность - прямой.

Answer 2

Теорема о вписанных углах, опирающихся на полуокружность, утверждает, что любой угол, образованный двумя хордами в окружности и лежащий на окружности, равен половине центрального угла, опирающегося на ту же хорду.

Для доказательства этой теоремы рассмотрим следующую ситуацию:

Пусть дана окружность с центром O и радиусом r. Пусть AB и CD - две хорды в этой окружности, пересекающиеся в точке P на окружности. Допустим, что угол APC образован хордой AB и хордой CD, а угол AOC - центральный угол, опирающийся на хорду CD.

Теперь докажем, что угол APC равен половине угла AOC.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольник AOC. Поскольку AC и OC - радиусы окружности, то треугольник AOC равнобедренный.

2. Из равнобедренности треугольника AOC следует, что угол OAC равен углу OCA.

3. Также из равнобедренности треугольника APC следует, что угол PAC равен углу PCA.

4. Из суммы углов треугольника знаем, что углы AOC и APC в сумме равны углу ACP (угол PAC + угол PCA = угол ACP).

5. Угол ACP равен половине угла AOC, так как они опираются на одну и ту же хорду CD.

Таким образом, мы доказали теорему о вписанных углах, опирающихся на полуокружность. Угол, образованный двумя хордами на окружности и лежащий на окружности, равен половине центрального угла, опирающегося на ту же хорду.