Question

Найти высоты (длины) DD₁ и CC₁. Даны точки: А(21;0;0), В(42;0;0), С(21;-21;0), D(21;21;21).

Answer 1

Даны вершины пирамиды: А(21;0;0), В(42;0;0), С(21;-21;0), D(21;21;21).

Как видим, точки А, В и С находятся все в одной плоскости  хОу.

Поэтому ответ на вопрос высоты ДД1 решается легко: эта высота равна координате точки Д по оси Oz,то есть 21.

Для определения высоты СС1 надо определить объём пирамиды и площадь грани АВД.

1. Находим координаты векторов.

Вектор АВ={xB-xA, yB-yA, zB-zA}   21 0 0

Вектор АC={xC-xA, yC-yA, zC-zA}   0 -21 0

Вектор АD={xD-xA, yD-yA, zD-zA}   0 21 21.

Объем пирамиды равен смешанному произведению векторов:        

(AB{x1, y1, z1} ; AC{x2, y2, z2} ; AD{x3, y3, z3})= x3·a1+y3·a2+z3·a3.

Произведение векторов      

a × b = {aybz - azby; azbx - axbz; axby - aybx}.

Подставив значения координат векторов, получаем:

 2. Площади граней    

                                     a1 a2 a3           S =

ABC [AB ; AC]= 0 0 -441        220,5

АВD [AB ; AD]= 0 441  441         311,8341

3. Объем пирамиды  

                     x y z

AB*AC          0 0 -441

     AD          0 21   21

Произвед 0 0 -9261

V = (1/6) * 9261 = 1543,5.  

Отсюда находим высоту СС1.

СС1 = 3V/S(ABD) = (3*9261/6)/311,8341  = 14,8492.

     

       

Answer 2

Для нахождения высот DD₁ и CC₁ треугольника ACD и BCD соответственно, нам нужно найти координаты точек D₁ и C₁, которые являются проекциями точек D и C на основание AB (ось x).

Для начала, найдем координаты точек D₁ и C₁.

Высота DD₁:

1. Определим вектор AB, который будет направлением основания. AB = В - А = (42 - 21, 0 - 0, 0 - 0) = (21, 0, 0).

2. Теперь нам нужно найти проекцию точки D на вектор AB. Для этого воспользуемся формулой проекции вектора D на вектор AB: D₁ = D - проекция(D на AB). проекция(D на AB) = ((D · AB) / |AB|^2) * AB, где · обозначает скалярное произведение, |AB| - длина вектора AB.

   Найдем скалярное произведение D · AB: D · AB = (21, 21, 21) · (21, 0, 0) = 21 * 21 + 21 * 0 + 21 * 0 = 441.

   Найдем длину вектора AB: |AB| = √(21^2 + 0^2 + 0^2) = √441 = 21.

   Теперь найдем проекцию: проекция(D на AB) = (441 / 21^2) * (21, 0, 0) = (441 / 441) * (21, 0, 0) = (21, 0, 0).

   Теперь можем найти D₁: D₁ = D - проекция(D на AB) = (21, 21, 21) - (21, 0, 0) = (0, 21, 21).

Теперь найдем высоту CC₁ аналогичным образом:

1. Вектор AB остается таким же, как и ранее.

2. Теперь нам нужно найти проекцию точки C на вектор AB: C₁ = C - проекция(C на AB). проекция(C на AB) = ((C · AB) / |AB|^2) * AB.

   Найдем скалярное произведение C · AB: C · AB = (21, -21, 0) · (21, 0, 0) = 21 * 21 + (-21) * 0 + 0 * 0 = 441.

   Теперь найдем проекцию: проекция(C на AB) = (441 / 21^2) * (21, 0, 0) = (441 / 441) * (21, 0, 0) = (21, 0, 0).

   Теперь можем найти C₁: C₁ = C - проекция(C на AB) = (21, -21, 0) - (21, 0, 0) = (0, -21, 0).

Итак, высоты DD₁ и CC₁ равны соответственно: DD₁ = (0, 21, 21), CC₁ = (0, -21, 0).