Question

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB =4корня из 3, а боковое ребро SA = 5. Найдите угол между прямой SC и плоскостью SAB

Answer 1

Ответ: arcsin 0,99846, что соответствует углу 86,82°

Объяснение:

 Основание правильной пирамиды –  правильный многоугольник,  боковые грани - равнобедренные треугольники, а вершина проецируется в центр окружности, описанной около основания.

Рассмотрим рисунок приложения:

 Для правильного треугольника  R=a/√3, где а- сторона основания. ОС=R=4√3:√3=4. Из отношению катета и гипотенузы ОС:SС=4:5 следует ∆ SОС - египетский, ⇒ высота пирамиды SО=3

 Проведем высоту СН основания и апофему грани SAB. Высота СН⊥АВ.  По т. о 3-х перпендикулярах SН⊥АВ.

 SН и СН лежат в плоскости SСН. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в одной плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости. ⇒ АВ перпендикулярна плоскости SСН. ⇒ Плоскость SСН⊥АВ.

Если плоскость перпендикулярна прямой, по которой пересекаются две другие плоскости, то она перпендикулярна и этим плоскостям.⇒ (SСН)⊥(АSВ). ⇒

Искомый угол СSН

                                    *   *   *

Способ 1) СН=АС•sin60°=4√3•√3/2=6  ⇒

2S(СSН)=SО•СН=3•6=18.

НО=СН-СО=6-4=2.

SН=√(SО²+ОН²)=√(9+4)=√13

Проведем высоту СК к стороне SН.

2S(CSH)=СК•SН  ⇒  CK=2S:SH=18/√13 Синус СSК=СК:СS= (18/√13):5=0,99846, что соответствует углу 86,82°

Способ 2): Вычислить нужный угол можно с тем же результатом по т. косинусов: СН²=SН²+СS²-2•SН•SС•cos(CSH) .

Answer 2

Чтобы найти угол между прямой SC и плоскостью SAB, нам необходимо сначала найти векторы, лежащие в этой плоскости.

Обозначим точки следующим образом: S - вершина пирамиды, A и B - точки на основании треугольника, C - центр основания треугольника (центр масс), N - точка на отрезке SA, лежащая на прямой SC и перпендикулярная плоскости SAB.

Так как треугольник SAB - правильный, угол между SA и SB равен 60 градусов (каждый угол равен 60 градусов, сумма углов в треугольнике равна 180 градусов).

Поскольку длина SA равна 5, а длина AB равна 4√3, мы можем найти точку N на отрезке SA следующим образом:

Сначала найдем координаты точек S, A и B в пространстве: S (0, 0, 0) A (4√3, 0, 0) B (2√3, 2, 0)

Теперь найдем вектор SC (вектор из S в C): SC = C - S = (2√3, 2, 0)

Поскольку треугольник SAB - правильный, его высота проходит через точку N и делит сторону SA пополам. Значит, координаты точки N будут: N (2√3, 0, 0)

Теперь нам нужно найти вектор NA (вектор из N в A) и вектор NB (вектор из N в B):

NA = A - N = (4√3 - 2√3, 0, 0) = (2√3, 0, 0) NB = B - N = (2√3 - 2√3, 2, 0) = (0, 2, 0)

Теперь, чтобы найти нормаль к плоскости SAB, возьмем векторное произведение векторов NA и NB:

N_norm = NA x NB = (2√3 * 2, 0 * 0, 0 * 2) = (4√3, 0, 0)

Теперь найдем угол между вектором SC и нормалью к плоскости SAB. Угол между векторами определяется как угол между их направляющими векторами. Нормализуем векторы SC и N_norm (приведем их к единичной длине):

SC_norm = SC / ||SC|| = (2√3, 2, 0) / √(12 + 4) = (2√3, 2, 0) / √16 = (2√3, 2, 0) / 4 = (√3/2, 1/2, 0) N_norm_norm = N_norm / ||N_norm|| = (4√3, 0, 0) / √48 = (4√3, 0, 0) / 4√3 = (1, 0, 0)

Теперь найдем угол между этими нормализованными векторами, используя скалярное произведение:

cos(θ) = SC_norm * N_norm_norm = (√3/2, 1/2, 0) * (1, 0, 0) = √3/2

Теперь найдем сам угол θ:

θ = arccos(√3/2) ≈ 30 градусов

Таким образом, угол между прямой SC и плоскостью SAB составляет примерно 30 градусов.