Question

30 баллов. В прямоугольном треугольнике (∠A = 90°) величина угла B составляет 30°. Из вершины угла C проведена биссектриса CD, которая разбивает противоположный катет на отрезки AD и BD. докажите, что ∆ABC ~ ∆ACD; найдите отношение AD : BD.

Answer 1

Сумма острых углов прямоугольного треугольника 90.

С=90-B=90-30=60

Биссектриса делит угол пополам.

ACD=C/2=60/2=30

Треугольники ABC и ACD подобны по двум углам.

Катет против угла 30 равен половине гипотенузы.

AC=BC/2

Биссектриса делит сторону в отношении прилежащих сторон (теорема о биссектрисе).

AD/BD = AC/BC =1/2

Answer 2

Для доказательства подобия треугольников ∆ABC и ∆ACD, мы должны показать, что у них соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны.

1. Доказательство равенства углов:

У нас уже есть информация о двух углах:

∠A = 90° (прямой угол) и ∠B = 30°.

Так как сумма углов треугольника равна 180°, то:

∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 90° - 30° = 60°.

Теперь давайте рассмотрим треугольник ∆ACD. В нем угол ∠ACD это угол, который является половиной угла ∠C. Так как ∠C = 60°, то:

∠ACD = 60° / 2 = 30°.

Таким образом, углы ∆ABC и ∆ACD равны:

∆ABC: ∠A = 90°, ∠B = 30°, ∠C = 60° ∆ACD: ∠A = 90°, ∠C = 30°, ∠ACD = 30°.

Мы видим, что углы ∆ABC и ∆ACD имеют два угла одинакового размера, что доказывает их равенство.

2. Доказательство пропорциональности сторон:

Мы знаем, что BD является биссектрисой угла ∠C, и это означает, что отношение длин сторон ∆ABC и ∆ACD будет такое же, как отношение длин катетов в ∆ABC. Таким образом, мы можем записать:

AD : BD = AB : BC.

Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике соотношение длин катетов равно:

AB : BC = AD : BD = 1 : √3.

Отсюда, мы можем найти отношение AD : BD:

AD : BD = 1 : √3.

Таким образом, доказано, что треугольники ∆ABC и ∆ACD подобны, и отношение длин отрезков AD и BD равно 1 : √3.