Question

У трикутник АВС вписано коло, яке дотикається до сторін АВ, ВС і АС в точках P, Q і R. Знайдіть АР, РВ, BQ, QC, CR, RA, якщо АВ=10 см, ВС=12 см, СА=5 см.​

Answer 1

Ответ:

АР=1,5 см, РВ=8,5 см, BQ=8,5 см, QC=3,5 см, CR=3,5 см, RA=1,5 см.

Объяснение:

Answer 2

Рисунок приложен.

АР=AR (как касательные, проведенные с одной точки).Пусть они будут по у см

Аналогично BP=BQ=x,

CQ=CR=z

Составим 3 уравнения:

х+у=10

y+z=5

x+z=12

Z больше у на 2 (что можно понять)

y+y+2=5

2y=3

y=1,5

z=3,5

x=10-1,5=8,5

Ответ: 1,5 см, 8,5 см, 8,5 см, 3,5 см, 3,5 см, 1,5 см

Answer 3

Для вирішення цієї задачі нам знадобиться знання про властивості трикутника, вписаного кола та теорему про трикутники, які дотикаються до однієї сторони.

Основна ідея полягає в тому, що точки дотику кола до сторін трикутника є точками касання зовнішнього кола, описаного навколо трикутника. Тому, якщо позначимо точки дотику кола до сторін трикутника як P, Q і R, то сторони трикутника АП, ВQ і СR будуть відрізками, які з'єднують вершини трикутника з точками дотику кола. Отже, для знаходження довжин цих відрізків можна використати теорему про трикутники, які дотикаються до однієї сторони.

1. Знайдемо радіус вписаного кола трикутника. Загальна формула для радіуса вписаного кола трикутника має вигляд: $r = \frac{{\text{Площа трикутника}}}{{\text{Півпериметр трикутника}}}$

Півпериметр трикутника $p$ можна знайти за допомогою формули: $p = \frac{{AB + BC + CA}}{2}$

Площа трикутника $S$ можна знайти за допомогою формули Герона: $S = \sqrt{p \cdot (p-AB) \cdot (p-BC) \cdot (p-CA)}$

2. Знайдемо довжини відрізків АР, РВ, ВQ, QC, CR і RA за допомогою теореми про трикутники, які дотикаються до однієї сторони. Ця теорема гласить: "Якщо до однієї сторони трикутника проведені три дотичні, то точки дотику розділяють сторону на відрізки, пропорційні довжинам інших двох сторін."

Для трикутника АВС: $АР : РВ = AQ : QC = CR : RA$

Тепер розглянемо конкретні обчислення:

1. Знайдемо півпериметр трикутника: $p = \frac{{AB + BC + CA}}{2} = \frac{{10 + 12 + 5}}{2} = \frac{27}{2} = 13.5$

2. Знайдемо площу трикутника: $S = \sqrt{p \cdot (p-AB) \cdot (p-BC) \cdot (p-CA)} = \sqrt{13.5 \cdot (13.5-10) \cdot (13.5-12) \cdot (13.5-5)} = \sqrt{13.5 \cdot 3.5 \cdot 1.5 \cdot 8.5} \approx \sqrt{834.375} \approx 28.88$

3. Знайдемо радіус вписаного кола: $r = \frac{S}{p} = \frac{28.88}{13.5} \approx 2.139$

4. Знайдемо довжини відрізків АР, РВ, ВQ, QC, CR і RA: $АР = РВ = АQ = CR = RA = r \cdot (p - CA) = 2.139 \cdot (13.5 - 5) \approx 2.139 \cdot 8.5 \approx 18.18$

$BQ = QC = r \cdot (p - AB) = 2.139 \cdot (13.5 - 10) \approx 2.139 \cdot 3.5 \approx 7.48$

Отже, отримали наступні довжини відрізків: $АР \approx РВ \approx АQ \approx CR \approx RA \approx 18.18 \, \text{см}$ $BQ \approx QC \approx 7.48 \, \text{см}$

Довжини відрізків АР, РВ, ВQ, QC, CR і RA приблизно дорівнюють 18.18 см, а BQ і QC - близько 7.48 см.