Question

Дана равнобокая трапеция с основаниями BC и AD, BC=1, BAD=75.На стороне АВ, как на диаметре, построена окружность, которая касается стороны CD и пересекает основание AD . Найти площадь трапеции.

Answer 1

Ответ:

Sabcd ≈ 7,5 ед.

Объяснение:

В треугольнике АВН угол АНВ прямой, так как опирается на диаметр.  =>  ВН - высота трапеции.

Трапеция равнобедренная и <BAD = <СDА = 75°.  <ABH = 15°.

Проведем BQ параллельно CD.

AH=HQ (АВ = BQ так как  BQ=CD, a CD=AB).  <ABQ = 30°.

В треугольнике АВН:

BH = 2*R*Sin75.  АН =  2*R*Cos75.  HD =AH+BC = 2*R*Cos75+1.

HD = (BC+AD)/2 (свойство равнобедренной трапеции) =>

Sabcd = HD*BH.  

Sabcd = (2*R*Cos75+1)*2*R*Sin75. (1)

В четырехугольнике  АОРD:  <AOP = 360-2*75-90 = 120°. =>

<BOP = 180°-120° =  60°. =>

Треугольник ОВР - равносторонний и ВК - высота, биссектриса и медиана. КР = ОР/2 = R/2.

Проведем СТ параллельно ОР (перпендикулярно BQ).  

CT =KP = R/2.

В прямоугольном треугольнике СТВ: <TCB = 15°.

СТ = ВС*Cos15°. => R/2 = Cos15°. => R = 2Cos15°.

Подставим это выражение в (1):

Sabcd = (2*2Cos15°*Cos75+1)*2*2Cos15°*Sin75.  

Sabcd = (4Cos15°*Cos75+1)*4Cos15°*Sin75.  

Дальше - сплошная тригонометрия.

Но подставив табличные значения, получим Sabcd ≈ 7,5 ед.

Если надо AD = AH+HD = 2RCos75+2RCos75+1 =

8Cos15*Cos75 +1 ≈ 3 ед.

Answer 2

Чтобы найти площадь равнобокой трапеции, нам нужно сначала найти длины её сторон и высоту. Затем, используя формулу для площади трапеции, мы можем рассчитать её площадь.

Пусть точка O - это центр окружности, построенной на диаметре AB. Поскольку окружность касается стороны CD, то точка O лежит на перпендикуляре к CD из точки C.

Обозначим точку пересечения окружности с основанием AD как точку E.

Поскольку BC = 1 и равнобедренная трапеция, то AD также равно 1.

Так как BAD = 75 градусов и BC = 1, то угол BAC = 90 - (BAD / 2) = 90 - 37.5 = 52.5 градусов.

Теперь, чтобы найти радиус окружности, обратим внимание, что треугольник BOC является прямоугольным треугольником с углом BOC = 90 градусов (так как BO является диаметром окружности), а угол BAC = 52.5 градусов.

Тогда угол BOC = 90 - 52.5 = 37.5 градусов.

Таким образом, треугольник BOC также равнобедренный, и BO = BC = 1.

Теперь рассмотрим треугольник AOE. Он также равнобедренный, так как OA = OB (радиус окружности) и угол AOE = углу BOC = 37.5 градусов.

Тогда угол OAE = (180 - угол AOE) / 2 = (180 - 37.5) / 2 = 71.25 градусов.

Так как OA = OE (радиус окружности) и угол OAE = 71.25 градусов, то треугольник OAE также равнобедренный.

Таким образом, AE = AO = 1 (так как радиус окружности).

Теперь рассмотрим треугольник ADE. Он также является прямоугольным, и угол DAE = 90 - угол BAD = 90 - 75 = 15 градусов.

Таким образом, мы знаем две стороны треугольника ADE: AD = 1 и AE = 1. Мы можем найти DE, используя тригонометрию:

DE = AE * tan(DAE) = 1 * tan(15) ≈ 0.26794919243.

Теперь, чтобы найти высоту трапеции, мы можем использовать прямоугольный треугольник ADE:

высота = DE + DC = 0.26794919243 + 1 = 1.26794919243.

Теперь, когда у нас есть высота трапеции и длины её оснований, мы можем найти её площадь:

Площадь трапеции = (Сумма оснований / 2) * высота Площадь трапеции = ((BC + AD) / 2) * высота Площадь трапеции = ((1 + 1) / 2) * 1.26794919243 Площадь трапеции ≈ 1.26794919243 квадратных единиц.

Таким образом, площадь равнобокой трапеции составляет приблизительно 1.27 квадратных единиц.