Question

Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC . Окружность с центром O , построенная на боковой стороне AB как на диаметре, касается боковой стороны CD и второй раз пересекает большее основание AD в точке H , точка Q — середина CD. а) Докажите, что четырёхугольник DQOH — параллелограмм. б) Найдите AD, если ∠BAD = 75° и BC =1.

Answer 1

Решение в приложении.

Answer 2

Для доказательства, что четырёхугольник DQOH является параллелограммом, нужно показать, что его противоположные стороны параллельны.

а) Докажем, что сторона DQ параллельна стороне OH.

Из условия задачи известно, что окружность, построенная на боковой стороне AB как на диаметре, касается стороны CD. Пусть точка M — точка касания окружности с боковой стороной CD. Также известно, что точка Q — середина стороны CD. Поскольку CM является радиусом окружности, а QM — медианой треугольника CDQ, то MQ перпендикулярна стороне CD (так как медиана треугольника делит ее пополам и проходит через точку, соединяющую вершину треугольника с серединой противоположной стороны). Значит, ∠MQD = 90°.

Также из условия задачи известно, что окружность пересекает большее основание AD в точке H. Так как H является точкой пересечения диаметра AB и отрезка AD, то ∠AHB = 90°.

Теперь рассмотрим треугольник OHM. В этом треугольнике ∠MQD = ∠OHM = 90°, и ∠OHM = ∠AHB = 90°. Получается, что треугольники OHM и HBA подобны по двум углам, поэтому соответственные их стороны параллельны.

Таким образом, сторона DQ параллельна стороне OH. Аналогичными рассуждениями можно показать, что сторона DO параллельна стороне HQ.

Таким образом, четырёхугольник DQOH является параллелограммом.

б) Чтобы найти значение AD, нам необходимо использовать информацию о равнобедренной трапеции ABCD и угле BAD.

Из условия задачи известно, что BC = 1, а угол BAD равен 75°.

Так как трапеция ABCD равнобедренная, то углы BCD и CDA также равны 75°.

Из равенства углов треугольника BCD (75° + 75° + ∠BCD = 180°) получаем ∠BCD = 30°.

Также, так как CD является основанием равнобедренной трапеции, ∠CDA