Question

Бісектриса кута, суміжного з кутом С трикутника АВС, перетинає продовження сторони АВ за точкою В в точці D, а бісектриса кута, суміжного з кутом А, перетинає продовження сторони за точкою С в точці Е. Знайти кути трикутника АВС, якщо DС=CA=AE. (8-9 клас, можна українською або російською)

Answer 1

Ответ:

Решение смотри в файле

Объяснение:

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі нам потрібно скористатися властивостями бісектрис кутів у трикутнику.

Означення бісектриси кута: Бісектриса кута трикутника є лінія, яка ділить цей кут на два рівних кути.

Задано, що бісектриса кута, суміжного з кутом С трикутника АВС, перетинає продовження сторони АВ за точкою В в точці D, а бісектриса кута, суміжного з кутом А, перетинає продовження сторони за точкою С в точці Е.

Умова також каже, що DС = CA = AE. З цим умовою можна зробити спостереження: трикутник ADC та трикутник ACE рівнобедрені, тому що AC = CA (тривіально), а також AD = AE, оскільки вони є відрізками однієї бісектриси. Також, ми можемо сказати, що кути CDA та CEA рівні, оскільки вони є бісектрисами кутів.

Тепер давайте позначимо кути трикутника ABC як A, B, та C.

Знаючи, що сума кутів в трикутнику дорівнює 180°, ми можемо записати рівняння для кутів:

A + B + C = 180° ... (1)

Також з властивостей бісектрис ми знаємо, що кути, які утворюються з бісектрисами, дорівнюють половині суми кутів прилеглих до них.

Отже, ми можемо записати:

A + CDA = 2 * C ... (2) C + CEA = 2 * A ... (3)

Але ми знаємо, що кути CDA та CEA рівні, тобто CDA = CEA = x (позначимо їх обидва як x):

A + x = 2 * C ... (2') C + x = 2 * A ... (3')

Тепер ми можемо вирішити цю систему рівнянь (2' і 3') для знаходження x:

Значення x = A = C

Замінимо це значення у рівнянні (1):

A + B + C = 180°

A + B + A = 180°

2A + B = 180°

Тепер з умови DС = CA = AE ми можемо стверджувати, що трикутник ADC та трикутник ACE рівностороні, оскільки всі сторони цих трикутників рівні.

Значить, кут ADC = 60°, кут ACE = 60°, та кут A має величину 60°.

Тепер знаючи кут A, ми можемо знайти значення кутів B та C з рівняння (2') або (3'):

A + x = 2 * C

60° + x = 2 * C

x = 2 * C - 60°

x = 2 * 60° - 60°

x = 60°

Отже, кути трикутника ABC мають наступні значення:

A = C = x = 60° B = 180° - 2 * 60° = 60°

Таким чином, всі кути трикутника ABC мають величину 60°. Трикутник ABC є рівностороннім.