Question

В треугольнике ABC AB=BC, точка O центр вписанной окружности, точки D и E точки касания вписанной окружности со сторонами AC и AB соответственно, угол ABC=48. Найдите угол DOE

Answer 1

Углы при основании равнобедренного треугольника:

∠BAC = ∠BCA = (180° - ∠ABC)/2 = (180° - 48°)/2 = 66°

Рассмотрим четырехугольник AEOD, известно что касательная к окружности перпендикулярная к радиусу, проведенному в точку касания, т.е. ∠AEO = ∠ADO = 90°. Сумма углов четырехугольника равна 360°

∠DOE = 360° - 66° - 90° - 90° = 114°

Ответ: 114°

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобятся некоторые свойства вписанной окружности и треугольника.

1. Свойство вписанной окружности: Касательная к вписанной окружности в точке касания является перпендикулярной к радиусу, проведенному из центра окружности к этой точке.

2. Теорема о касательных: Касательные к окружности из одной точки равны по длине.

По условию, мы знаем, что точка O - центр вписанной окружности, и касательные к этой окружности из точек D и E пересекаются в точке O.

Также из условия AB=BC мы знаем, что треугольник ABC равнобедренный, и угол BAC = (180° - угол ABC)/2 = (180° - 48°)/2 = 66°.

Теперь давайте посмотрим на треугольник BOC. Угол BOC является внутренним углом треугольника ABC, и поскольку треугольник ABC равнобедренный, угол BOC также равен 66°.

Теперь мы знаем все углы треугольника BOC: угол BOC = 66°, угол OBC = угол OCB = (180° - угол BOC)/2 = (180° - 66°)/2 = 57°.

Теперь обратим внимание на треугольник BOD. Угол OBD равен 90° (так как OD - касательная и перпендикулярна радиусу в точке касания D), и угол OBC = 57° (как мы только что выяснили).

Следовательно, угол DBC = угол OBC - угол OBD = 57° - 90° = -33°. Однако в геометрии углы обычно считаются положительными, поэтому возьмем дополнительные углы и получим угол DBC = 180° - 33° = 147°.

Теперь давайте обратим внимание на треугольник BDO. Угол BDO равен 90° (как и угол OBD) и угол DBC = 147° (как мы только что выяснили).

Теперь мы можем найти угол ODE. Угол ODE = угол BDO - угол BDE. Угол BDE является внутренним углом треугольника BCD, и мы можем найти его как разность угла BDC и угла BDE.

Угол BDC = угол ABC = 48° (по условию задачи).

Угол BDE = угол OBD - угол OBE. Угол OBE равен половине угла ABC (поскольку OB - касательная и делит угол ABC пополам), а угол OBD = 90° (как мы выяснили выше).

Таким образом, угол BDE = 90° - 48°/2 = 90° - 24° = 66°.

Теперь можем найти угол ODE = угол BDO - угол BDE = 90° - 66° = 24°.

Итак, угол DOE равен 24°.