Question

Продолжения двух противоположных сторон AB и CD четырехугольника ABCD пересекаются под углом альфа, продолжения двух других противоположных сторон пересекаются под тем же углом. Докажите, что два угла в четырехугольнике равны, и найдите разность двух других его углов. ​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:   Решение : ///////////////////////////

Answer 2

Диагональ BD видна из точек X и Y под одинаковым углом, следовательно точки X, Y, B, D лежат на одной окружности.

XBY=XDY (опираются на одну дугу)

B=D (смежные с равными)

Угол между секущими - полуразность дуг между ними.

A= (b-2a)/2

Угол между хордами - полусумма дуг между ними.

C= (b+2a)/2

C-A =2a

Answer 3

Пусть A и C - точки пересечения продолжений сторон AB и CD, соответственно. Также пусть E и F - точки пересечения продолжений сторон BC и AD, соответственно.

Так как AB и CD - противоположные стороны четырехугольника, и их продолжения пересекаются под углом α, то можно сказать, что угол BAE равен углу CDF. Аналогично, угол BAF равен углу CDE.

Рассмотрим треугольники ABE и CDE. Углы BAE и CDF равны, а углы BAF и CDE также равны. Кроме того, угол ABE и угол CDE оба равны углу α, так как они являются смежными углами. Таким образом, по двум равным углам и равным сторонам треугольники ABE и CDE равны по стороне-уголу-стороне (СУС).

Из равенства треугольников ABE и CDE следует, что угол BAE равен углу CDE. Но мы уже знаем, что угол BAE равен углу CDF. Следовательно, угол CDE равен углу CDF.

Рассмотрим теперь четырехугольник ABCD. Угол CDA является внешним углом треугольника CDE. По свойству внешнего угла треугольника, он равен сумме внутренних углов треугольника CDE, то есть углам CDE и CED. Мы уже знаем, что углы CDE и CDF равны. Следовательно, угол CDA равен сумме углов CDF и CED.

Также рассмотрим угол ADC в четырехугольнике ABCD. Он является внешним углом треугольника ABE и равен сумме внутренних углов треугольника ABE, то есть углам BAE и AEB. Мы знаем, что углы BAE и CDF равны. Следовательно, угол ADC равен сумме углов CDF и AEB.

Так как угол CDA равен углу ADC, то сумма углов CDF и CED равна сумме углов CDF и AEB. Путем сокращения этих углов получаем, что угол CED равен углу AEB.

Таким образом, мы доказали, что углы CDA и ADC равны, и углы CED и AEB равны. Разность двух других углов четырехугольника ABCD равна разности углов CDA и ADC. Но мы уже знаем, что эти углы равны. Следовательно, разность двух других углов четырехугольника ABCD равна 0.