Question

Два круга касаются снаружи в точке А. Найти длину их общей внешней касательной и расстояние от точки А к общей внешней касательной, если радиусы кругов 2 см и 8 см.

Answer 1

Рисунок прилагается. Таких внешних касательных существует всего две. Они пересекаются в точке G. BD и CF - радиусы, перпендикулярные касательной GE. Треугольники GDB и GFC подобны по двум углам (G - общий угол, а также ∠GBD=∠GFC=90° (как раз эти самые радиусы)

Тогда из подобия $\frac{GB}{GC} =\frac{2}{8} =\frac{1}{4} ; GC = GB + BC; BC = AB + AC =2 + 8 = 10;\\ GC = GB + 10; \frac{GB}{GB+10}=\frac{1}{4};4GB=GB+10;GB=\frac{10}{3};$

Наше искомое расстояние AP. Это заодно значит, что AP перпендикулярно GT (второй касательной, можно было так же начертить и с первой, это не принципиально). Тогда треугольники GBH и GAP тоже подобны по двум углам (G - общий и ∠GHB=∠GPA=90°)

и значит, что $\frac{GB}{GA} =\frac{BH}{AP} ; GA = GB + AB=\frac{10}{3}+2=\frac{16}{3};\\ \frac{\frac{10}{3} }{\frac{16}{3} }=\frac{2}{AP};\frac{10}{16}=\frac{2}{AP};\frac{5}{8}=\frac{2}{AP};5AP=16; AP=\frac{16}{5}=3,2$

Ответ: 3,2 см.

Answer 2

Чтобы найти длину общей внешней касательной двух кругов, можно использовать теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике, образованном радиусами кругов и отрезком, соединяющим центры кругов.

Обозначим радиусы кругов как r1 = 2 см и r2 = 8 см.

Расстояние между центрами кругов можно найти как сумму радиусов: d = r1 + r2 = 2 см + 8 см = 10 см.

Теперь, используя теорему Пифагора, мы можем найти длину общей внешней касательной (от точки А до точки касания двух кругов).

Давайте обозначим длину общей внешней касательной как t.

Теперь мы можем составить следующее уравнение:

t^2 = (d^2 - (r2 - r1)^2)

где (r2 - r1) - это расстояние между точкой касания и отрезком, соединяющим центры кругов.

Выразим t:

t = √((d^2 - (r2 - r1)^2))

Подставим значения:

t = √((10^2 - (8 - 2)^2)) = √((100 - 6^2)) = √((100 - 36)) = √(64) = 8 см

Таким образом, длина общей внешней касательной двух кругов составляет 8 см.

Чтобы найти расстояние от точки А до общей внешней касательной, можно построить прямоугольный треугольник, где одна сторона равна радиусу меньшего круга (2 см), а другая сторона равна расстоянию от точки А до общей внешней касательной (пусть это будет h). Используя теорему Пифагора, мы можем найти h:

h^2 = (r2 - r1)^2 - (t/2)^2

Подставим значения:

h^2 = (8 - 2)^2 - (8/2)^2 = 6^2 - 4^2 = 36 - 16 = 20

h = √20 ≈ 4.47 см

Таким образом, расстояние от точки А до общей внешней касательной составляет примерно 4.47 см.