Question

Отрезки AB и CD пересекаются в точке O так, что BO=OC=a, AO=OD=b а) доказать, что угол ABD = углу ACD б) найти отношения площадей треугольников площадь угла ABD на площадь угла ACD в) доказать, что точка О середина MH, если OM и OH биссектриса треугольника AOC и треугольника BOD соответственно г) найти радиус окружности писанной треугольника угла AOD, радиус окружности писанной около треугольника BOC

Answer 1

Ответ:

а) наверно ACD и BDC всё-таки

По условию: AO=OB, CO=OD

углы: AOC=BOD (как вертикальные)

треугольники: AOC=BOD (по двум сторонам и углу между ними)

отрезки: AC=BD (следует из равенства треугольников AOC и BOD)

углы: BOC=AOD (как вертикальные)

треугольники: BOC=AOD (по двум сторонам и углу между ними)

отрезки: BC=AD (следует из равенства треугольников BOC и AOD)

треугольники: ACD=BDC (по трём сторонам)

Если вы прошли тему параллелограмм можно доказать гораздо проще.

четырёхугольник ACBD -- параллелограмм (по признаку)

BC=AD, AC=BD (противоположные стороны параллелограмма)

углы CAD=CBD (противоположные углы параллелограмма)

треугольники ACD=BDC (по двум сторонам и углу между ними)

2)

угол CBD=180°-BCD-BDC

углы BDC=ACD (следует из равенства треугольников ACD и BDC)

тогда угол CBD=180°-BCD-ACD=180°-(ACD+BCD)=180°-ACB=180°-118°=62°

Если вы прошли параллелограмм, тогда

угол CBD=180°-ACB (как внутренние односторонние при сечении параллельных AC и BD прямой BC)

CBD=62°

Объяснение:

Answer 2

Для решения задачи дадим отрезкам и точкам конкретные обозначения, чтобы упростить изложение:

Пусть AB и CD - пересекающиеся отрезки, их точка пересечения обозначена как O, при этом BO=OC=a и AO=OD=b.

а) Доказательство того, что угол ABD равен углу ACD: Для начала заметим, что треугольники AOB и COD равнобедренные, так как AO=OB=b и OC=OD=a. Также угол AOB равен углу COD, так как это вертикальные углы. Теперь рассмотрим углы BOD и AOC. Они оба равны, так как эти углы в смежных равнобедренных треугольниках равны основаниям треугольников (углы при вершинах равны углам при основаниях). Таким образом, углы BOD и AOC равны между собой.

Теперь сравним треугольники ABD и ACD. У них две стороны равны (AB=AC и AD=AD - общая сторона), и угол ABD равен углу ACD. Поэтому треугольники ABD и ACD равны друг другу по стороне и двум углам. Следовательно, угол ABD равен углу ACD.

б) Найдем отношение площадей треугольников: Площадь треугольника можно вычислить, используя формулу: Площадь = 0.5 * основание * высота.

Площадь треугольника ABD: S(ABD) = 0.5 * AB * HD, где HD - высота треугольника ABD из точки D. Площадь треугольника ACD: S(ACD) = 0.5 * AC * HC, где HC - высота треугольника ACD из точки C.

Так как AB=AC и HD=HC (они равны соответственно биссектрисам углов), то отношение площадей треугольников будет следующим: S(ABD) / S(ACD) = (0.5 * AB * HD) / (0.5 * AC * HC) = AB * HD / AC * HC

Вспомним, что треугольники ABD и ACD равны по двум сторонам и углам. Это значит, что у них подобные соответственные треугольники, и соотношение их сторон будет таким: AB / AC = HD / HC

Теперь можем записать отношение площадей, используя это равенство: S(ABD) / S(ACD) = (AB * HD) / (AC * HC) = (AB / AC) * (HD / HC) = 1 * 1 = 1

Таким образом, отношение площадей треугольников равно 1, то есть площади треугольников ABD и ACD равны.

в) Доказательство того, что точка О является серединой отрезка MH: Для начала заметим, что треугольники AOB и COD равнобедренные, как уже было упомянуто ранее. Поскольку BO=OC=a, то MO и OH являются биссектрисами углов треугольников AOC и BOD соответственно. Таким образом, точка О является точкой пересечения биссектрис углов треугольников AOC и BOD.

Теперь обратим внимание на треугольник MHD. У него две стороны равны (MD=HD=b и MH=HO - общая сторона), и угол MDH равен углу HDО (они равны между собой, так как это биссектрисы). Следовательно, треугольники MHD и HOО равны по двум сторонам и углу, и, следовательно, по стороне и двум углам. Это означает, что треугольники MHD и HOО равны друг другу.

Таким образом, мы показали, что точка О является серединой отрезка MH.

г) Найдем радиусы окружностей, описанных вокруг треугольников AOD и BOC: Так как треугольники AOB и COD равнобедренные, то их высоты (то есть биссектрисы) пересекаются в точке O, являющейся центром окружностей, описанных вокруг треугольников AOD и BOC. Таким образом, радиусы этих окружностей равны AO=OD=b и BO=OC=a соответственно.