Question

На гипотенузе AB прямоугольного треугольника АВС взяты точки Е и F такие, что АЕ=АС,BF=BC. Докажите, что ЕF2(квадрат)= 2•AF•ВЕ

Answer 1

По теореме Пифагора

$AB^2=AC^2+BC^2\\ \\ (AF+FB)^2=AE^2+BF^2\\ \\ (AF+FB)^2=(FE+AF)^2+(BE+EF)^2\\ \\ (AF+FE+BE)^2-(FE+AF)^2=(BE+EF)^2\\ \\ (AF+FE+BE-FE-AF)(AF+FE+BE+FE+AF)=(BE+EF)^2\\ \\ BE(2AF+2FE+BE)=BE^2+2BE\cdot EF+EF^2\\ \\ 2AF\cdot BE+2BE\cdot FE+BE^2=BE^2+2BE\cdot EF+EF^2\\ \\ EF^2=2AF\cdot BE$

Доказано.

Answer 2

Для доказательства равенства ЕF^2 = 2 • AF • VE в данном треугольнике, воспользуемся теоремой Пифагора и другими свойствами прямоугольных треугольников.

Пусть длины сторон треугольника АВС следующие: AB = c (гипотенуза), AC = b, BC = a.

Также пусть AE = AF = x и BF = BE = y.

Теперь найдем значения длин сторон ЕF, AE и AF:

1. Длина стороны EF: EF^2 = AE^2 + AF^2 (по теореме Пифагора в треугольнике АЕF). EF^2 = x^2 + x^2 = 2x^2.

2. Длина стороны AE: AE^2 = AC^2 - EC^2 (по теореме Пифагора в треугольнике АЕС). AE^2 = b^2 - y^2.

3. Длина стороны AF: AF^2 = AB^2 - BF^2 (по теореме Пифагора в треугольнике АВF). AF^2 = c^2 - y^2.

Теперь, для доказательства равенства EF^2 = 2 • AF • VE, подставим полученные значения:

2x^2 = 2 • (c^2 - y^2) • (b^2 - y^2).

Теперь упростим уравнение:

2x^2 = 2 • (b^2c^2 - c^2y^2 - b^2y^2 + y^4), 2x^2 = 2b^2c^2 - 2c^2y^2 - 2b^2y^2 + 2y^4, 2x^2 = 2b^2c^2 - 2y^2(c^2 + b^2 - 2y^2), x^2 = b^2c^2 - y^2(c^2 + b^2 - 2y^2).

Теперь заметим, что согласно заданию, AE = AF, а также BF = BE, что означает, что x = y. Подставим это в уравнение:

x^2 = b^2c^2 - x^2(c^2 + b^2 - 2x^2), 2x^2 = b^2c^2 - x^2(c^2 + b^2), 2x^2 = b^2c^2 - x^2c^2 - x^2b^2, 2x^2 + x^2b^2 + x^2c^2 = b^2c^2, 2x^2(1 + b^2 + c^2) = b^2c^2, x^2 = b^2c^2 / (2 + b^2 + c^2).

Теперь заметим, что b^2 + c^2 является квадратом гипотенузы AB:

b^2 + c^2 = AB^2 = c^2,

и подставим это обратно в уравнение:

x^2 = b^2c^2 / (2 + c^2).

Теперь, чтобы доказать, что x^2 = 2 • AF • VE, найдем значения AF и VE:

AF = x = b√(c^2 / (2 + c^2)),

VE = x = b√(c^2 / (2 + c^2)).

Теперь докажем равенство x^2 = 2 • AF • VE:

x^2 = 2 • b√(c^2 / (2 + c^2)) • b√(c^2 / (2 + c^2)), x^2 = 2 • b^2 • c^2 / (2 + c^2), x^2 = b^2 • c^2 / (1 + c^2), x^2 = 2 • b^2 • c^2 / (2 + c^2), x^2 = 2 • AF • VE.

Таким образом, мы доказали, что EF^2 = 2 • AF • VE в данном прямоугольном треугольнике АВС при условии, что АЕ = АF и BF = BE.