Question

Помогите пожалуйста! На боковых сторонах АВ и ВС равнобедренного треугольника АВС отметили точки Е и F соответственно. оказалось, что BE=EF. Биссектриса угла EFC пересекает основание АС в точку К. Докажите, что KF=KC.​

Answer 1

EB=EF, значит треугольник EBF - равнобедренный.

и угол EBF равен углу EFB.

Углы ВАС и ВСА равны, т.к. треугольник АВС равнобедренный, значит можно записать, что угол АСВ равен (180°-∠АВС) / 2

Угол CFE и EFB смежные, и в сумме 180°

Значит ∠EFC = 180°-∠EFВ = 180°-∠EBF = 180°-∠АВС

Биссектриса делит угол EFC пополам, значит

∠KFC = 1/2 EFC =  (180°-∠АВС) / 2 = ∠АСВ

Поскольку ∠АСВ=∠KCF=∠KFC, то треугольник СKF имеет равные углы при основании CF следовательно  он равнобедренный.

А в равнобедренном треугольнике СКF KC=KF, что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доказательства KF = KC воспользуемся свойством биссектрисы треугольника.

Обозначим угол BAC как α и угол ABC (также равный углу BCA) как β. Поскольку треугольник АВС является равнобедренным, то угол ABC равен углу BCA, то есть β = γ.

Также обозначим угол EBF как δ. Так как BE = EF, то углы BFE и BEF равны. Пусть каждый из этих углов равен ε.

Теперь рассмотрим треугольники BFE и CFE. У них есть общая сторона EF, а также равные углы EBF и ECF (это следует из того, что BE = EF и угол EBF = угол ECF = ε). Также угол BFE равен углу CFE (так как эти углы дополняют угол EBF).

Исходя из этих свойств, треугольники BFE и CFE являются подобными (по стороне-углу-стороне).

Теперь рассмотрим треугольники ABC и AEC. У них есть общая сторона AC, а также равные углы BAC и EAC (поскольку AE является биссектрисой угла EAF). Также углы ABC и AEC равны (так как треугольник АВС равнобедренный и угол ABC = угол BCA = β).

Исходя из этих свойств, треугольники ABC и AEC являются подобными (по стороне-углу-стороне).

Теперь рассмотрим треугольники AEC и CFE. У них есть общая сторона CE, а также равные углы EAC и ECF (по подобиям треугольников ABC и AEC, CFE и BFE). Также угол AEC равен углу CFE (по свойству биссектрисы).

Исходя из этих свойств, треугольники AEC и CFE являются подобными (по стороне-углу-стороне).

Теперь рассмотрим отношение сторон в треугольниках AEC и CFE: AC/CE = AE/EF.

Учитывая, что BE = EF (по условию), получаем: AC/CE = AE/BE.

Поскольку треугольники AEC и CFE подобны, их стороны пропорциональны: AE/CE = CE/FE.

Подставляем AE/CE = CE/FE в уравнение AC/CE = AE/BE: AC/CE = CE/FE AC/CE = CE/FE AC/CE^2 = CE^2/FE AC^2 = CE^2.

Таким образом, мы получили, что AC^2 = CE^2.

Из этого следует, что треугольники AEC и CKE равнобедренные, так как у них равны соответственно сторона AC и сторона CE (так как AC = CE) и углы при этих сторонах равны (так как угол AEC = углу CEK).

Таким образом, в треугольнике CKE биссектриса CK делит основание CE на две равные части, и мы можем заключить, что KF = KC.