Question

Даны вершины пирамиды А (3; -1; 1), B (5; 2; -1), C (2; -2; 1), D (2; 7; 1). Найти: а) угол между ребрами АВ и АС; б) площадь грани АВС; в) объем тетраэдра АВСD; г) уравнение плоскости АВС; д) угол между ребром АD и гранью АВС; е) уравнение высоты, опущенной из вершины D на грань АВС.

Answer 1

Даны вершины пирамиды А (3; -1; 1), B (5; 2; -1), C (2; -2; 1), D (2; 7; 1).

а) угол между ребрами АВ и АС;

Вектор АВ={xB-xA, yB-yA, zB-zA} =(2; 3; -2). Модуль = √17 ≈ 4,123.  

Вектор АC={xC-xA, yC-yA, zC-zA} = (-1; -1; 0). Модуль = √2 ≈ 1,414.  

Их скалярное произведение равно -2 - 3 + 0 = -5.

cos a = |-5|/(√17*√2) = 5/√34 ≈ 0,8575.

Угол равен arc cos(5/√34) = 0,5404 радиан или 30,964 градуса.

б) площадь грани АВС равна половине модуля векторного произведения АВ на АС:

                 а1                     а2                  а3

a × b = {aybz - azby;   azbx - axbz;   axby - aybx}      

Подставим координаты векторов, полученные выше:

a1     a2       a3         S =

-2       2    1            1,5 .

в) объем тетраэдра АВСD;

Надо ещё определить координаты вектора АД.

Вектор АD={xD-xA, yD-yA, zD-zA} = (-1; 8; 0). Модуль = √65 ≈ 8,0622.  

Объем тетраэдра АВСD равен (1/6) смешанного произведения векторов (АВхАС) х (АД).

V = (1/6)*((-2)*(-1) + 2*8 + 1*0) = (1/6)*18 = 3 куб.ед.

г) уравнение плоскости АВС определяем по координатам точек.

Для составления уравнения плоскости используем формулу:

x - xA                y - yA                         z - zA

xB - xA                 yB - yA                       zB - zA

xC - xA                 yC - yA                        zC - zA       = 0

Подставим данные и упростим выражение:

x - 3            y - (-1)                  z - 1

5 - 3             2 - (-1)                  (-1) - 1

2 - 3            (-2) - (-1)              1 - 1         = 0

(x - 3) (y - (-1))       ( z - 1 )

2             3                  -2

-1             -1                  0        = 0

(x - 3)*3·0-(-2)·(-1)  -  (y - (-1))*2·0-(-2)·(-1)  +  (z - 1)*2·(-1)-3·(-1)  = 0

(-2)(x - 3)  + 2(y - (-1))  + 1(z - 1)  = 0

  -2x + 2y + z + 7 = 0

д) угол между ребром АD и гранью АВС;

sin b = (-2*-1+2*8+1*0)/(3*√65) = 18/(3√65) = 6/√65.

Угол равен 0,8393 радиан или 48,091 градуса.

е) уравнение высоты, опущенной из вершины D на грань АВС.

Прямая, проходящая через точку M0(x0;y0;z0) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C).

Уравнение плоскости АВС: -2x + 2y + z + 7 = 0 .

Точка D  = (2; 7; 1).

Уравнение высоты (x - 2)/-2 = (y - 7)/2 = (z - 1)/1.

Answer 2

Чтобы решить эту задачу, давайте последовательно выполним каждый из пунктов:

а) Найдем угол между ребрами АВ и АС. Для этого используем скалярное произведение векторов.

Вектор АВ = (5 - 3, 2 - (-1), -1 - 1) = (2, 3, -2) Вектор АС = (2 - 3, -2 - (-1), 1 - 1) = (-1, -1, 0)

Теперь найдем скалярное произведение векторов АВ и АС:

AB · AC = (2 * -1) + (3 * -1) + (-2 * 0) = -2 - 3 + 0 = -5

Теперь найдем длины векторов АВ и АС:

|AB| = √(2^2 + 3^2 + (-2)^2) = √(4 + 9 + 4) = √17 |AC| = √((-1)^2 + (-1)^2 + 0^2) = √(1 + 1) = √2

Теперь можем найти угол между ребрами АВ и АС, используя формулу для скалярного произведения векторов:

cos(θ) = (AB · AC) / (|AB| * |AC|) = -5 / (√17 * √2) ≈ -1.0541

Теперь найдем сам угол:

θ ≈ arccos(-1.0541) ≈ 102.58°

Ответ: а) Угол между ребрами АВ и АС ≈ 102.58°

б) Найдем площадь грани АВС. Для этого воспользуемся формулой площади треугольника по трём его сторонам (формула Герона).

Длины сторон треугольника АВС: AB = √17, AC = √2 и BC = √((5 - 2)^2 + (2 - (-2))^2 + (-1 - 1)^2) = √(9 + 16 + 4) = √29

Полупериметр треугольника: p = (AB + AC + BC) / 2 = (√17 + √2 + √29) / 2 ≈ 4.7642

Площадь треугольника АВС = √(p * (p - AB) * (p - AC) * (p - BC)) ≈ √(4.7642 * (4.7642 - √17) * (4.7642 - √2) * (4.7642 - √29)) ≈ 2.8528

Ответ: б) Площадь грани АВС ≈ 2.8528

в) Найдем объем тетраэдра АВСD. Для этого воспользуемся формулой объема тетраэдра:

V = (1/6) * |(AB × AC) · AD|

где × обозначает векторное произведение.

Векторное произведение AB × AC можно найти следующим образом:

AB × AC = |i j k | |2 3 -2 | |-1 -1 0 | = i((-2 * 0) - (-2 * -1)) - j((2 * 0) - (-1 * -1)) + k((2 * -1) - (3 * -1)) | | = i(2) - j(1) + k(-5) | | = (2i - j - 5k)

Теперь найдем вектор AD:

AD = (2 - 3, 7 - (-1), 1 - 1) = (-1, 8, 0)

Теперь найдем скалярное произведение AB × AC и AD:

|(AB × AC) · AD| = |(2i - j - 5k) · (-1i + 8j + 0k)| = |-2 - 8 + 0| = 10

Теперь найдем объем тетраэдра:

V = (1/6) * |(AB × AC) · AD| = (1/6) * 10 = 5/3 ≈ 1.6667

Ответ: в) Объем тетраэдра АВСD ≈ 1.6667

г) Найдем уравнение плоскости АВС. Для этого воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через три точки.

Векторное произведение AB × AC, которое мы нашли ранее, является нормалью к плоскости.

Уравнение плоскости можно записать в виде:

(2i - j - 5k) · (x - 3) - (3i + j - 2k) · (y + 1) + (-2i - 0j + 1k) · (z - 1) = 0

Упростим:

(2x - 6 - y - 5z + 5) - (3y + j - 2z - 2) - (2z - 1) = 0

2x - y - 5z - 1 - 3y + 2z + 2 - 2z + 1 = 0

2x - y - 5z - 1 - 3y = 0

2x - 4y - 5z - 1 = 0

Ответ: г) Уравнение плоскости АВС: 2x - 4y - 5z - 1 = 0

д) Найдем угол между ребром АD и гранью АВС. Этот угол будет прямым, так как ребро AD является высотой тетраэдра, опущенной из вершины D на грань АВС.

Ответ: д) Угол м