Question

Ребят, помогите с задачей по геометрии пожалуйста. Подробное решение нужно. Даны координаты вершин пирамиды ABCD __ ^ __Найти:1) |AB|; 2) (AB;AC); 3) пр AB; AC;4) площадь грани ABC;5) уравнение грани ABC6) уравнение ребра AD;7) угол между ребром AD и гранью ABC;8) смешанное произведение (AB, AC, AD) и V - объём пирамиды ABCD;9) уравнение высоты,опущенной из вершины D на грань ABC и ее длину;10) уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно грани ABC. A(8;7;0); B(5;3;4); C(1;5;2); D(0;3;5)

Answer 1

В общем виде? Вау. Ладно.

 

1) $|\textbf{AB}| = \sqrt{(\textbf{AB} \cdot \textbf{AB})}$

 

(Ну нужны конкретные координаты.)

Answer 2

Решение:

Для решения данной задачи по геометрии нам потребуется использовать различные формулы и свойства геометрических фигур. Рассмотрим каждый пункт по отдельности.

1) Нахождение длины ребра AB:

Для нахождения длины ребра AB воспользуемся формулой расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

$$ |AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2} $$

Подставим координаты вершин A(8;7;0) и B(5;3;4) в данную формулу:

$$ |AB| = \sqrt{(5 - 8)^2 + (3 - 7)^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{9 + 16 + 16} = \sqrt{41} $$

Таким образом, длина ребра AB равна sqrt(41).

2) Нахождение векторов AB и AC:

Для нахождения векторов AB и AC воспользуемся формулой разности координат:

$$ \vec{AB} = \langle x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A \rangle $$

$$ \vec{AC} = \langle x_C - x_A, y_C - y_A, z_C - z_A \rangle $$

Подставим координаты вершин A(8;7;0), B(5;3;4) и C(1;5;2) в данные формулы:

$$ \vec{AB} = \langle 5 - 8, 3 - 7, 4 - 0 \rangle = \langle -3, -4, 4 \rangle $$

$$ \vec{AC} = \langle 1 - 8, 5 - 7, 2 - 0 \rangle = \langle -7, -2, 2 \rangle $$

Таким образом, вектор AB равен (-3, -4, 4), а вектор AC равен (-7, -2, 2).

3) Нахождение векторного произведения AB и AC:

Для нахождения векторного произведения AB и AC воспользуемся формулой:

$$ \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -3 & -4 & 4 \\ -7 & -2 & 2 \end{vmatrix} $$

Вычислим определитель данной матрицы:

$$ \vec{AB} \times \vec{AC} = \vec{i} \begin{vmatrix} -4 & 4 \\ -2 & 2 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} -3 & 4 \\ -7 & 2 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} -3 & -4 \\ -7 & -2 \end{vmatrix} $$

$$ \vec{AB} \times \vec{AC} = \vec{i}(-4 \cdot 2 - 4 \cdot -2) - \vec{j}(-3 \cdot 2 - 4 \cdot -7) + \vec{k}(-3 \cdot -2 - (-7) \cdot -4) $$

$$ \vec{AB} \times \vec{AC} = \vec{i}(-8 + 8) - \vec{j}(-6 + 28) + \vec{k}(6 - 28) = \vec{i} \cdot 0 - \vec{j} \cdot (-6 + 28) + \vec{k} \cdot (-22) $$

$$ \vec{AB} \times \vec{AC} = \vec{j} \cdot 22 - \vec{k} \cdot 22 = \langle 0, 22, -22 \rangle $$

Таким образом, векторное произведение AB и AC равно (0, 22, -22).

4) Нахождение площади грани ABC:

Площадь грани ABC равна половине модуля векторного произведения AB и AC:

$$ S_{ABC} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| $$

Подставим найденное векторное произведение AB и AC:

$$ S_{ABC} = \frac{1}{2} |(0, 22, -22)| = \frac{1}{2} \sqrt{0^2 + 22^2 + (-22)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{0 + 484 + 484} = \frac{1}{2} \sqrt{968} = \frac{1}{2} \cdot 22 \sqrt{2} = 11 \sqrt{2} $$

Таким образом, площадь грани ABC равна 11 sqrt(2).

5) Нахождение уравнения грани ABC:

Уравнение плоскости, проходящей через три точки, можно записать в виде:

$$ Ax + By + Cz + D = 0 $$

где A, B, C и D - коэффициенты, которые можно найти, используя координаты точек A, B и C.

Подставим координаты точек A(8;7;0), B(5;3;4) и C(1;5;2) в данное уравнение:

$$ 8A + 7B + 0C + D = 0 \quad \text{(1)} $$

$$ 5A + 3B + 4C + D = 0 \quad \text{(2)} $$

$$ 1A + 5B + 2C + D = 0 \quad \text{(3)} $$

Решим данную систему уравнений, выразив D через A, B и C.

$$ D = -8A - 7B $$

Подставим данное выражение в уравнения (2) и (3):

$$ 5A + 3B + 4C - 8A - 7B = 0 $$

$$ 1A + 5B + 2C - 8A - 7B = 0 $$

$$ -3A - 4B + 4C = 0 \quad \text{(4)} $$

$$ -7A - 2B + 2C = 0 \quad \text{(5)} $$

Умножим уравнение (4) на 2 и уравнение (5) на 4:

$$ -6A - 8B + 8C = 0 \quad \text{(6)} $$

$$ -28A - 8B + 8C = 0 \quad \text{(7)} $$

Вычтем уравнение (6) из уравнения (7):

$$ -28A - 8B + 8C - (-6A - 8B + 8C) = 0 $$

$$ -22A = 0 $$

$$ A = 0 $$

Подставим найденное значение A в уравнение (4):

$$ -3 \cdot 0 - 4B + 4C = 0 $$

$$ -4B + 4C = 0 $$

$$ B = C $$

Таким образом, коэффициенты в уравнении грани ABC равны: A = 0, B = C и D = -8A - 7B.

Уравнение грани ABC можно записать в виде:

$$ 0x + B(y - 7) + B(z - 0) - 8A - 7B = 0 $$

$$ B(y - 7) + Bz - 8A - 7B = 0 $$

$$ B(y + z - 7) - 8A - 7B = 0 $$

$$ B(y + z) - 7B = 8A $$

$$ (y + z) - 7 = \frac{8A}{B