Question

Даны вершины треугольной пирамиды S (3;2;5) A(4;-2;-3) B(-2;4;-2) C(-2;-3;-5) Найти: 1) угол между ребрами BS и BC 2) площадь грани ABC 3) объем пирамиды SABC 4) длину высоты, опущенной из вершины S на грань АВС; 5) угол между ребром SC и гранью АВС; 6) уравнение высоты, опущенной из вершины S на грань АВ

Answer 1

Даны вершины треугольной пирамиды:

S (3;2;5), A(4;-2;-3), B(-2;4;-2), C(-2;-3;-5).  

Найти:1) угол между ребрами BS и BC.

Вектор BS: (5; -2; 7), его модуль равен √(25+4+49) = √78,

            BC: (0; -7; -3), его модуль равен √(0+49+9) = √58.

cos B = (5*0+-2*-7+7*-3)/( √78*√58) = -7/√4524 ≈ -0,10407.

Угол равен 1,675058 радиан или 95, 97374 градуса.

2) площадь грани ABC.

Вектор AB: (-6; 6; 1), вектор АС: (-6; -1; -2).

ABxAC =

 I        j      k|     I       j

-6      6     1|    -6     6

-6    -1    -2|    -6    -1  = -12i – 6j + 6k- 12j + 1i + 36k = -11i – 18j + 42k.

Нормальный вектор плоскости АВС равен (-11; -18; 42).

S = (1/2)√((-11)² + (-18)² + 42²) = 47/2 = 23,5 кв.ед.

3) объем пирамиды SABC.

Вектор AS = (-1; 4; 8).

V = (1/6)AS*( ABxAC) = (1/6)*((-11)*(-1)+(-18)*4+42*8) = 275/6 ≈ 45,8333  куб.ед.

4) длину высоты, опущенной из вершины S на грань АВС.

H = 3V/S(ABC) = (3*(275/6))/(47/2) = 275/47≈ 5,85106.

5) угол между ребром SC и гранью АВС.

Вектор прямой SC  

x y z Модуль

5 5 10 150 12,24745

Уравнение плоскости ABC  

x y z D  

-11 -18 42 134 =

                                            Модуль

sin ϕ = 275      = 0,477737              √2209 = 47

575,63009    

ϕ = 0,4980773 радиан или 28,53773 градуса.  

6) уравнение высоты, опущенной из вершины S на грань АВC.

Нормальный вектор плоскости АВС (-11; -18; 42) является направляющим вектором высоты из точки S(3; 2; 5).

Уравнение высоты: (x-3)/(-11) = (y-2)/(-18) = (z-5)/42.

Answer 2

Для решения данной задачи нам потребуется использовать геометрию трехмерного пространства.

Для начала найдем векторы ребер и грани треугольной пирамиды:

1. Векторы ребер: Вектор BS: $\vec{BS} = \vec{B} - \vec{S}$ Вектор BC: $\vec{BC} = \vec{C} - \vec{B}$

2. Вектор нормали к грани ABC: Вектор AB: $\vec{AB} = \vec{A} - \vec{B}$ Вектор AC: $\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A}$ Нормаль к грани ABC: $\vec{N_{ABC}} = \vec{AB} \times \vec{AC}$ (векторное произведение)

3. Длина высоты, опущенной из вершины S на грань ABC: Длина высоты: $h_{S} = \frac{\left|\vec{N_{ABC}} \cdot \vec{BS}\right|}{\left|\vec{N_{ABC}}\right|}$

4. Площадь грани ABC: Площадь: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \left|\vec{N_{ABC}}\right|$

5. Объем пирамиды SABC: Объем: $V_{SABC} = \frac{1}{3} \times S_{ABC} \times h_{S}$

6. Угол между ребром BS и BC: Угол: $\theta_{BS-BC} = \arccos\left(\frac{\vec{BS} \cdot \vec{BC}}{\left|\vec{BS}\right|\left|\vec{BC}\right|}\right)$

7. Угол между ребром SC и гранью ABC: Угол: $\theta_{SC-ABC} = \arccos\left(\frac{\vec{N_{ABC}} \cdot \vec{SC}}{\left|\vec{N_{ABC}}\right|\left|\vec{SC}\right|}\right)$

8. Уравнение высоты, опущенной из вершины S на грань ABC: Уравнение: $\vec{S} + t \times \vec{N_{ABC}} = \vec{P}$