Question

в трапецию меньшее основание которой равно 1 вписана окружность радиуса 1.5 найдите радиус окружности описанной около этой трапеции если известно что эта окружночть существует

Answer 1

Решим данную задачу обобщённым способом. Начнём с теории:

1. Если в трапецию вписана окружность, то сумма его оснований равна сумме боковых сторон, BC + AD = AB + CD
2. Если около трапеции описана окружность, то сумма его противолежащих углов равна 180°. Это означает, что данная трапеция является равнобокой, AB = CD
3. В равнобокой трапеции её высота равна диаметру вписанной окружности, BH = d = 2r
4. По свойству равнобокой трапеции высота, опущенная на бо'льшее основание, делит её на два отрезка, бо'льший из которых равен полусумме оснований, а ме'ньший - полуразности оснований

Пусть BC = a, AD = b, BH = 2r, тогда HD = (b + a)/2, AH = (b - a)/2

AB + CD = BC + AD = a + b  ⇒  AB = CD = (b + a)/2

В ΔABH применим теорему Пифагора:  BH² + AH² = AB²

(2r)² + ( (b - a)/2 )² = ( (b + a)/2 )²

Умножаем обе части на 4 и раскрываем скобки:

16r² + b² - 2ab + a² = b² + 2ab + a²

16r² = 4ab  ⇒  r² = ab/4  ⇒  r = √(ab)/2  ⇒  BH = d = √ab

В ΔBHD:   BD² = BH² + HD²  = (2r)² + ( (b + a)/2 )²

4BD² = 16r² + b² + 2ab + a² = b² + 6ab + a²

BD = √(b² + 6ab + a²)/2

В ΔABH:  sin∠A = BH/AB = 2r/(b + a)/2 = 4r/(b + a) = 2√(ab)/(b + a)

По теореме синусов  в ΔABD:   R = BD/(2•sin∠A)

$></em></p> <p><em>Обобщённая формула  для нахождения радиуса описанной около трапеции окружности через известные основания, а и b </em></p> <p><em><img src=$

Answer 2

Для нахождения радиуса окружности, описанной вокруг трапеции, нам понадобится некоторая геометрическая информация. Обозначим меньшее основание трапеции за "a" и радиус окружности, вписанной в трапецию, за "r".

Пусть точка "O" - центр вписанной окружности, а точка "P" - середина большего основания трапеции.

Заметим, что радиус вписанной окружности "r" равен половине высоты трапеции (h). Также, отрезок "OP" является высотой трапеции.

Используем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника "OAP":

OA^2 + AP^2 = OP^2

Где "OA" равно радиусу вписанной окружности "r", "AP" равно половине большего основания, то есть "a/2", а "OP" равно половине суммы оснований трапеции, то есть "(a + b)/2".

Подставляем значения:

r^2 + (a/2)^2 = ((a + b)/2)^2

Также, нам дано, что радиус вписанной окружности равен 1.5, то есть:

r = 1.5

Теперь, нам нужно знать значение большего основания "b" для того, чтобы решить уравнение и найти радиус окружности, описанной около трапеции. Если у вас есть дополнительные данные об этой трапеции, пожалуйста, предоставьте их, чтобы мы могли решить уравнение и дать ответ.