Question

Решить координатно-векторным методом: В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точка S — вершина. Точка M — середина ребра SA, точка K — середина ребра SC. Найдите угол между плоскостями BMK и ABC, если AB = 10, SC =8. Ответ выразить в arctg.

Answer 1

Поместим пирамиду в систему координат точкой А в начало, АД по оси Ох, АВ по оси Оу.

Имеем координаты её вершин.

А(0; 0; 0), В(0; 10; 0), С(10; 10; 0), Д(10; 0; 0), S(5; 5; 8).

Уравнение плоскости АВСД z = 0.

Находим координаты точек М и К.

М(2,5; 2,5; 4) и К(7,5; 7,5; 4).

Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки определяем  по формуле:

x - x1  y - y1  z - z1  

x2 - x1  y2 - y1  z2 - z1        = 0

x3 - x1  y3 - y1  z3 - z1

x - 0          y - 10  z - 0  

(2.5) - 0  (2.5) - 10  4 - 0      =  0

(7.5) - 0  (7.5) - 10  4 - 0

- 0  y - 10 z - 0  

2.5  -7.5    4          =  0

7.5  -2.5    4

(x - 0 )( (-7.5) · 4 - 4 · (-2.5) ) - (y - 10 )( (2.5) · 4 - 4 · (7.5) ) + (z - 0 )( (2.5) · (-2.5) - (-7.5) · (7.5) ) = 0

(-20) (x -  0 ) +  20 (y -  10 ) +  50 (z -  0 ) = 0

-  20 x  +  20 y  +  50 z  -  200   = 0 .

Сократим обе части на -10 и получаем уравнение плоскости МВК:

2x - 2y - 5z + 20 = 0.

Угол между плоскостями

z = 0 и  2x - 2y - 5z + 20 = 0  определяем по формуле:

cos α =   |A1·A2 + B1·B2 + C1·C2| /√(A1² + B1² + C1² )*√(A2² + B2² + C2²)  

cos α =   |0·2 + 0·(-2) + 1·(-5)| /√(0² + 0² + 1²)* √(2² + (-2)² + (-5)²)  =

=   |0 + 0 + (-5)| /(√1 *√33)  =   5√33/3 3  ≈ 0,87039

α = 29,496° .

Через arctg ответ можно получить без векторного метода.

Линия пересечения заданных плоскостей лежит в плоскости основания АВСД и параллельна диагонали АС.

Отрезок МК пересекает высоту пирамиды в её середине.

Тангенс угла равен 4/(5√2).

α = arctg (4/(5√2)) = arctg (2√2)/5).

Answer 2

Для решения данной задачи координатно-векторным методом, нам потребуется найти координаты точек B, C, D, M и K.

Поскольку вершина S является началом координат, будем считать, что координаты точек A, B, C и D имеют вид:

A(0, 0, 0) B(xB, yB, zB) C(xC, yC, zC) D(xD, yD, zD)

Так как пирамида является правильной, то её боковые рёбра равны между собой. Из условия задачи известно, что AB = 10, поэтому точка B должна находиться на расстоянии 10 от начала координат. Зная это, можем записать следующее уравнение:

xB^2 + yB^2 + zB^2 = 10^2

Также из условия известно, что SC = 8, а точка C находится в середине ребра SC. Это означает, что координаты точки C можно найти, разделив координаты точки S пополам:

xC = 0/2 = 0 yC = 0/2 = 0 zC = 8/2 = 4

Точки M и K являются серединами рёбер SA и SC соответственно. Поэтому их координаты можно найти как среднее арифметическое координат вершин соответствующих рёбер:

M(xM, yM, zM) = (0 + xB)/2, (0 + yB)/2, (0 + zB)/2 K(xK, yK, zK) = (0 + xC)/2, (0 + yC)/2, (0 + zC)/2

Так как M — середина ребра SA, его координаты будут:

xM = xB/2, yM = yB/2, zM = zB/2

Аналогично, координаты точки K:

xK = xC/2 = 0/2 = 0, yK = yC/2 = 0/2 = 0, zK = zC/2 = 4/2 = 2

Теперь у нас есть координаты всех точек. Для нахождения угла между плоскостями BMK и ABC воспользуемся скалярным произведением нормалей этих плоскостей. Нормали можно найти, используя векторное произведение векторов, лежащих в плоскостях.

В плоскости ABC векторы AB и AC лежат в этой плоскости. Тогда нормаль этой плоскости будет равна их векторному произведению:

nABC = AB x AC

AB = B - A = (xB, yB, zB) - (0, 0, 0) = (xB, yB, zB) AC = C - A = (xC, yC, zC) - (0, 0, 0) = (xC, yC, zC)

nABC = (xB, yB, zB) x (xC, yC, zC)

Теперь рассмотрим плоскость BMK. Векторы BM и BK лежат в этой плоскости, их векторное произведение будет нормалью плоскости BMK:

nBMK = BM x BK

BM = M - B = (xM, yM, zM) - (xB, yB, zB) = (xM - xB, yM - yB, zM - zB) BK = K - B = (xK, yK, zK) - (xB, yB, zB) = (xK - xB, yK - yB, zK - zB)

nBMK = (xM - xB, yM - yB, zM - zB) x (xK - xB, yK - yB, zK - zB)

Теперь у нас есть нормали плоскостей BMK и ABC. Для нахождения угла между ними, воспользуемся следующей формулой:

cos(θ) = (nABC · nBMK) / (||nABC|| * ||nBMK||)

где θ - искомый угол, nABC · nBMK - скалярное произведение нормалей плоскостей, ||nABC|| и ||nBMK|| - длины нормалей плоскостей.

Теперь, решим задачу, вычислив все необходимые величины.