Question

В параллелограмме abcd биссектриса острого угла bcd пересекает сторону ad в точке m, а продолжение стороны AB в точке K, KM:KC = 2:3 а) Докажите, что треугольники KAM и CDM подобны б) найдите стороны параллелограма abcd, если его периметр равен 48 см

Answer 1

Ответ:

6 см, 18 см

Объяснение:

ABCD -  параллелограмм,

АВ = CD = a

AD = BC = b

Pabcd = 2(a + b) = 48 cм

a + b = 24                    (1)

∠2 = ∠1 так как CM биссектриса,

∠2 = ∠3 как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых AD и ВС секущей CM, значит

∠1 = ∠3 и значит ΔCDM равнобедренный с основанием CM.

CD = DM = а,  ⇒  MA = b - a.

ΔKAM ~ ΔCDM по двум углам (углы при вершине М равны, как вертикальные, ∠KАМ = ∠CDM как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых AВ и CD секущей AD), следовательно

$\dfrac{KM}{MC}=\dfrac{MA}{DM}$

KM : KC = 2 : 3,   ⇒   KM : MC = 2 : 1

$\dfrac{b-a}{a}=\dfrac{2}{1}$

b - a = 2a

b = 3a

С учетом уравнения (1) получаем систему уравнений:

$\left\{ \begin{array}{ll}a+b=24\\b=3a\end{array}$

$\left\{ \begin{array}{ll}a+3a=24\\b=3a\end{array}$  

$\left\{ \begin{array}{ll}4a=24\\b=3a\end{array}$

$\left\{ \begin{array}{ll}a=6\\b=18\end{array}$

AB = 6 см

ВС = 18 см

Answer 2

а) Докажем, что треугольники KAM и CDM подобны.

По условию, KM:KC = 2:3. Заметим, что треугольники KAM и KCD имеют общий угол K, так как они соответственные углы при параллельных прямых KM и CD.

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники KAM и KCD:

В треугольнике KCD: KC - катет, так как биссектриса делит сторону CD пополам, то есть KD = DC. CD - гипотенуза. CM = KM + KC = 2x + 3x = 5x.

В треугольнике KAM: KA - катет. KM - катет. AM = KA - KM = 3x - 2x = x.

Теперь мы видим, что у треугольников KAM и KCD соотношение длин катетов равно 1:5 (x:(5x)).

Теперь рассмотрим треугольники KAM и CDM. У них имеется общий угол K и соотношение длин катетов 1:5, что означает, что эти треугольники подобны по стороне-стороне (SSS).

б) Теперь, зная, что треугольники KAM и CDM подобны, мы можем установить соответствующие длины сторон параллелограмма abcd.

Пусть x - масштабный коэффициент, тогда: KM = 2x, KC = 3x, CM = 5x, AM = x.

Так как в параллелограмме противоположные стороны равны, то:

AB = CD = 5x, BC = AD = 2x.

Периметр параллелограмма равен сумме длин всех его сторон:

Периметр = AB + BC + CD + AD = 5x + 2x + 5x + 2x = 14x.

Из условия задачи известно, что периметр равен 48 см, поэтому:

14x = 48.

Теперь найдем значение x:

x = 48 / 14 ≈ 3.43 см.

Теперь, зная значение x, мы можем найти длины всех сторон параллелограмма abcd:

AB = CD = 5x ≈ 5 * 3.43 ≈ 17.15 см, BC = AD = 2x ≈ 2 * 3.43 ≈ 6.86 см.

Таким образом, стороны параллелограмма abcd равны примерно: AB ≈ CD ≈ 17.15 см, BC ≈ AD ≈ 6.86 см.