Question

В трапеции АВСD АD – большее основание, D = 60. Биссектрисы углов С и D пересекаются в точке О, ОD = а, ВС = b, АD = с. Найдите площадь трапеции.

Answer 1

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна 180°.

∠BCD + ∠CDA = 180°,  значит сумма их половинок равна 90°,

∠OCD + ∠ODC = 90°, ⇒ ∠COD = 90°, ∠CDO = 30°.

Проведем высоту СН.

ΔCHD: ∠CHD = 90°, ∠CDH = 60°, ⇒ ∠HCD = 30°

            

ΔCHD = ΔDOC по гипотенузе и острому углу (CD - общая гипотенуза, ∠HCD = ∠CDO = 30°), ⇒

CH = DO = a

Sabcd = (b + c)/2 · a

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойством биссектрисы угла. Биссектриса угла делит противолежащую сторону трапеции на две отрезка, пропорциональных смежным сторонам трапеции.

Пусть точка пересечения биссектрисы угла C и стороны AD обозначается как E. Тогда, согласно свойству биссектрисы, можно записать следующее отношение:

EC / EA = BC / BA

Заметим, что стороны трапеции BC и BA равны соответственно b и c. Тогда получаем:

EC / EA = b / c

Домножим обе части на с:

EC = b * EA / c

Аналогично, точка пересечения биссектрисы угла D и стороны AD обозначается как F. Можно записать аналогичное отношение:

FD / FA = b / c

Домножим обе части на с:

FD = b * FA / c

Теперь мы можем выразить боковые стороны трапеции через основания и отрезки EC и FD:

AB = AD + BC = c + b CD = BC = b

Также нам дано, что ∠D = 60°, поэтому ∠A = 180° - ∠D = 180° - 60° = 120°.

Теперь мы можем найти площадь трапеции, используя формулу:

S = (AB + CD) * h / 2,

где h - высота трапеции.

Высоту трапеции можно найти с помощью треугольника AEF:

∠EAF = ∠A / 2 = 120° / 2 = 60°.

Так как ∠A = ∠C, треугольник AEF равнобедренный, и мы можем найти его высоту с помощью тригонометрии. Обозначим высоту как h.

В треугольнике AEF применим закон синусов:

h / EC = sin(∠EAF) / EA

h / (b * EA / c) = sin(60°) / EA

h = (b * EA / c) * sin(60°) = (b * EA / c) * (√3 / 2) = b * √3 / (2c).

Теперь, подставив значения AB, CD и h в формулу для площади трапеции, получим:

S = (AB + CD) * h / 2 = (c + b + b) * (b * √3 / (2c)) / 2 = (2c + 2b) * (b * √3 / (2c)) / 2 = (b * (√3c + √3b)) / 2.

Таким образом, площадь трапеции равна (b * (√3c + √3b)) / 2.