Question

Покажите, что данным уравнением определяется сфера. Найдите ее центр, радиус, если x^2+y^2+z^2+10x+4y-8z+3=0

Answer 1

........................

Answer 2

Для определения, что данное уравнение определяет сферу, мы должны проверить, что уравнение имеет следующий вид:

(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2,

где (a, b, c) - координаты центра сферы, а r - радиус сферы.

Для этого нам нужно привести данное уравнение к этому виду.

Итак, рассмотрим данное уравнение:

x^2 + y^2 + z^2 + 10x + 4y - 8z + 3 = 0.

Чтобы привести его к стандартному уравнению сферы, мы должны завершить квадраты для переменных x, y и z, а также перенести все свободные члены на правую сторону:

(x^2 + 10x) + (y^2 + 4y) + (z^2 - 8z) = -3.

Чтобы завершить квадраты для переменных x, y и z, мы должны добавить к обеим сторонам уравнения соответствующие значения:

(x^2 + 10x + 25) + (y^2 + 4y + 4) + (z^2 - 8z + 16) = -3 + 25 + 4 + 16.

Теперь у нас получилось:

(x + 5)^2 + (y + 2)^2 + (z - 4)^2 = 42.

Теперь уравнение имеет нужный нам вид:

(x - (-5))^2 + (y - (-2))^2 + (z - 4)^2 = 6^2.

Таким образом, данное уравнение определяет сферу с центром в точке (-5, -2, 4) и радиусом 6.