Question

Доказать, что если в треугольнике АВС медиана АМ в два раза меньше стороны ВС, то угол А — прямой.

Answer 1

Объяснение: Так как МА=МВ=МС (дано), треугольники ВМА и СМА равнобедренные.

Пусть в треугольнике ВМА углы МВА=МАВ=α. Тогда угол СМА, как внешний угол ∆ ВМА равен сумме не смежных с ним внутренних углов 2α (теорема), а ∠МСА +∠САМ=180°-2α (из суммы углов треугольника), и каждый из них (180°-2α):2=90°-α.

Поэтому угол ВАС=∠САМ+∠МАВ=90°-альфа+альфа=90°. Доказано.

Answer 2

Раз АМ - медиана, то BM = MC и так как BC = 2AM, то BM = MC = AM, а это не что иное, как радиусы описанной окружности с центром в т. М, BC - диаметр, ∠А - опирается на диаметр и равен 180°/2 = 90°,т.е. ∠А - прямой.

Answer 3

Для доказательства данного утверждения воспользуемся теоремой о медиане треугольника.

Теорема о медиане гласит: Медиана треугольника делит ее на две равные части, при этом каждая из них равна половине основания.

Пусть медиана AM треугольника ABC делит сторону BC пополам, то есть AM = MC. Также из условия задачи известно, что AM в два раза меньше стороны BC, то есть AM = 0.5 * BC.

Используем теорему Пифагора для треугольника AMC:

AC^2 = AM^2 + MC^2.

Заменяем значения AM и MC:

AC^2 = (0.5 * BC)^2 + (0.5 * BC)^2.

AC^2 = 0.25 * BC^2 + 0.25 * BC^2.

AC^2 = 0.5 * BC^2.

Теперь рассмотрим треугольник ABC. Применяем теорему Пифагора для этого треугольника:

AB^2 = AC^2 + BC^2.

Заменяем значение AC^2:

AB^2 = 0.5 * BC^2 + BC^2.

AB^2 = 1.5 * BC^2.

Теперь сравниваем полученное равенство с известным тождеством теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, где гипотенуза в квадрате равна сумме квадратов катетов.

Если AB^2 = AC^2 + BC^2, то треугольник ABC является прямоугольным, и угол A является прямым углом.

Таким образом, мы доказали, что если медиана AM треугольника ABC в два раза меньше стороны BC, то угол А является прямым углом.