Question

Докажите, что если два отрезка равны и параллельны, то отрезки соединяющие их соответственно концы параллельны. Дано: AB║CD, AB = CD Доказать: AC║BD

Answer 1

Решение:

Примем АВ=а=CD; BC=b

1) AC=AB+BC=a+b

BD=CD+BC=a+b ⇒ AC=BD

2) Задача обратна первой. Здесь из равных отрезков вычитается один и тот же отрезок.  

АС=BD

АВ=АС-ВС

CD=BD-BC  

⇒ AB=CD

Answer 2

Предположим, что у нас есть два отрезка AB и CD, которые равны и параллельны (AB║CD), и нам нужно доказать, что отрезки AC и BD, соединяющие их соответственно концы, также параллельны (AC║BD).

Чтобы доказать данное утверждение, воспользуемся методом доказательства от противного.

Предположим, что AC и BD не параллельны, т.е. они пересекаются в точке P.

Так как отрезки AB и CD параллельны, то их углы с любой прямой, пересекающей их, будут соответственно равными.

Рассмотрим угол APB и угол CPD. Так как отрезки AB и CD равны, а углы, образованные ими с прямой, равны, то угол APB будет равен углу CPD.

Также рассмотрим угол BPC и угол DPA. Так как отрезки AB и CD параллельны, их углы с прямой также будут равными. Следовательно, угол BPC будет равен углу DPA.

Теперь рассмотрим треугольник ABP и треугольник CDP. У них углы APB и CPD равны, углы BPC и DPA также равны, и стороны AB и CD равны. Из этих данных следует, что треугольники ABP и CDP будут подобными по двум углам, что влечет за собой равенство их третьих углов.

Третий угол треугольника ABP равен углу BAP, а третий угол треугольника CDP равен углу DCP.

Таким образом, мы получили, что угол BAP равен углу DCP, что невозможно, так как они находятся на разных сторонах от прямой CD, пересекающей их.

Полученное противоречие указывает на то, что наше предположение о пересечении отрезков AC и BD было неверным. Следовательно, отрезки AC и BD также параллельны.

Таким образом, мы доказали, что если два отрезка AB и CD равны и параллельны (AB║CD), то отрезки AC и BD, соединяющие их соответственно концы, также параллельны (AC║BD).