Question

Різниця діагоналей ромба 14 см., а його сторона 17 см. Знайти площу ромба

Answer 1

1 способ:

В ромбе диагонали точкой пересечения делятся пополам (АО=ОС и ВО=OD).

Пусть ВО=х, тогда:

AC-BD=14

AC-2x=14

AC=14+2x

2·OC=2(x+7)

OC=x+7

Из ΔBCO по т. Пифагора:

$\displaystyle BC^2=BO^2+OC^2\\17^2=x^2+(x+7)^2\\x^2+x^2+14x+49=289\\2x^2+14x-240=0\\x^2+7x-120=0\\D=b^2-4ac=7^2-4\cdot 1 \cdot (-120)=49+480=529\\x_1=\frac{-b+\sqrt{D} }{2a} =\frac{-7+23}{2} =8\\x_2=\frac{-b-\sqrt{D} }{2a} =\frac{-7-23}{2}=-15$

x=-15 не подходит по смыслу задачи, поэтому один корень х=8.

ВО=х=8 см

ОС=х+7=8+7=15 см

АС=АО+ОС=15+15=30 см

BD=BO+OD=8+8=16 см

$\displaystyle S_{ABCD}=\frac{AC\cdot BD}{2} =\frac{30\cdot 16}{2} =240\; cm^2$

2 способ:

Вспомним такую формулу: $d_1^2+d_2^2=2a^2+2b^2$, где d₁, d₂ - диагонали параллелограмма(у нас ромб, а ромб-это тоже параллелограмм), a, b - стороны параллелограмма(у нас ромб, поэтому a=b).

Найдем диагонали, составив систему:

Пусть АС=х, BD=y.

$\displaystyle \left \{ {{AC-BD=14} \atop {AC^2+BD^2=2AB^2+2BC^2}} \right. \\\left \{ {{x-y=14} \atop {x^2+y^2=2\cdot 17^2+2\cdot 17^2}} \right. \\\left \{ {{x-y=14} \atop {x^2+y^2=1156}} \right. \\\left \{ {{x=14+y} \atop {(14+y)^2+y^2=1156}} \right. \\\left \{ {{x=14+y} \atop {196+28y+y^2+y^2=1156}} \right. \\\left \{ {{x=14+y} \atop {y^2+14y-480=0}} \right. \\{\left [ \left \{ {{y=16} \atop {x=30}} \right. \atop\left \{ {{y=-30} \atop {x=-16}} \right. \right.$

Отрицательные значения нам не подходят, так как длинна - величина неотрицательная.

Тогда AC=x=30см, BD=y=16см.

$\displaystyle S_{ABCD}=\frac{AC\cdot BD}{2} =\frac{30\cdot 16}{2} =240\;cm^2$

Ответ: $S_{ABCD}=240\;cm^2$

Answer 2

Для того щоб знайти площу ромба, нам необхідно знати довжини його діагоналей або довжину однієї сторони та кут між ними. У вашому питанні вказано різницю діагоналей (14 см) та довжину однієї сторони (17 см).

Насамперед, давайте знайдемо довжини діагоналей ромба.

Позначимо: D1 - перша діагональ, D2 - друга діагональ, S - довжина сторони.

У ромбі, діагоналі є перпендикулярними та перетинаються півпо пів, утворюючи чотири прямокутних трикутники. Таким чином, за теоремою Піфагора можемо записати:

(D1/2)^2 + (S/2)^2 = S^2 (для одного з прямокутних трикутників) (D2/2)^2 + (S/2)^2 = S^2 (для іншого прямокутного трикутника)

Так як відомо, що різниця діагоналей ромба 14 см, тобто D1 - D2 = 14 см, ми можемо записати ще одне рівняння:

D1 - D2 = 14 (рівняння з різницею діагоналей)

Тепер розв'яжемо систему рівнянь.

1. (D1/2)^2 + (S/2)^2 = S^2
2. (D2/2)^2 + (S/2)^2 = S^2
3. D1 - D2 = 14

З рівняння (3) можна виразити D1:

D1 = D2 + 14

Підставимо D1 у рівняння (1):

((D2 + 14)/2)^2 + (S/2)^2 = S^2

Спростимо:

(D2 + 14)^2 + S^2/4 = 4S^2

Розкриємо квадрат:

D2^2 + 28D2 + 196 + S^2/4 = 4S^2

Підставимо D2 у рівняння (2):

(D2/2)^2 + (S/2)^2 = S^2

Спростимо:

D2^2 + S^2/4 = 4S^2

Тепер зведемо два рівняння у системі:

D2^2 + 28D2 + 196 + S^2/4 = 4S^2 D2^2 + S^2/4 = 4S^2

Віднімемо друге рівняння з першого:

28D2 + 196 = 3S^2

Тепер виразимо D2:

28D2 = 3S^2 - 196

D2 = (3S^2 - 196)/28

Тепер, знаючи D2, можемо знайти D1 за допомогою рівняння (3):

D1 = D2 + 14

D1 = ((3S^2 - 196)/28) + 14

Знаючи довжини діагоналей, можемо знайти площу ромба. Формула для площі ромба:

Площа = (D1 * D2) / 2

Підставимо значення D1 і D2:

Площа = (((3S^2 - 196)/28) + 14) * ((3S^2 - 196)/28) / 2

Тепер підставимо довжину сторони S = 17 см і обчислимо площу:

Площа = (((3 * 17^2 - 196)/28) + 14) * ((3 * 17^2 - 196)/28) / 2 Площа = (686/28 + 14) * (686/28) / 2 Площа = (24.5 + 14) * 24.5 / 2 Площа = 38.5 * 24.5 / 2 Площа = 942.25 / 2 Площа ≈ 471.125

Отже, площа ромба приблизно дорівнює 471.125 квадратних сантиметрів.