Question

Маша задумала три различные ненулевые цифры — A, B и C. Оказалось, что среднее арифметическое чисел ABC, BC и C равно 123. Найдите сумму цифр, загаданных Машей. Запись XYZ¯ означает трёхзначное число, составленное из цифр X, Y и Z. Среднее арифметическое трёх чисел a, b, c вычисляется по формуле a+b+c/3

Answer 1

$\frac{ABC+BC+C}3=123\\\\ABC+BC+C=369$

Запишем последнюю сумму в столбик:

  ABC

    BC

      C

  369

Очевидно, что C = 3, B может быть равно 3 или 8. 3 не подходит, т.к. цифры должны быть различные. Значит A = 2, B = 8, C = 3

A+B+C = 2+8+3 = 13

Answer 2

Давайте разберемся с условием задачи и найдем значения для цифр A, B и C.

Мы имеем три числа: ABC, BC и C. Среднее арифметическое этих чисел равно 123. Математически это можно записать следующим образом:

(ABC + BC + C) / 3 = 123

Теперь давайте разберемся, как выразить числа ABC, BC и C в терминах A, B и C:

1. ABC: Это трехзначное число, составленное из цифр A, B и C. Поскольку A, B и C - различные ненулевые цифры, наибольшее трехзначное число, которое можно составить, будет ABC, а наименьшее - CBA. Таким образом, ABC - CBA = 999 - (CBA - 111) = 888 + (A * 100 + B * 10 + C).

2. BC: Это двузначное число, составленное из цифр B и C. Самое большое двузначное число, которое можно составить, будет BC, а самое маленькое - CB. Таким образом, BC - CB = 99 - (CB - 11) = 88 + (B * 10 + C).

Теперь мы можем переписать уравнение с учетом выражений для ABC и BC:

(888 + (A * 100 + B * 10 + C) + 88 + (B * 10 + C) + C) / 3 = 123

Далее, упростим уравнение:

(888 + A * 100 + B * 10 + C + 88 + B * 10 + C + C) / 3 = 123

(976 + A * 100 + 2 * B * 10 + 3 * C) / 3 = 123

Теперь, чтобы продолжить решение, давайте выразим A, B и C.

Сначала упростим числитель:

976 + 2 * B * 10 + 3 * C = 369 + A * 100

Теперь выразим A:

A * 100 = 976 + 2 * B * 10 + 3 * C - 369

A * 100 = 607 + 2 * B * 10 + 3 * C

A = (607 + 2 * B * 10 + 3 * C) / 100

A = 6 + (2 * B * 10 + 3 * C) / 100

Поскольку A - целое число, (2 * B * 10 + 3 * C) должно делиться на 100 без остатка. Мы замечаем, что 100 делится на 2 и на 5, так что для (2 * B * 10 + 3 * C) также должно выполняться это условие.

Теперь рассмотрим выражение для (2 * B * 10 + 3 * C):

(2 * B * 10 + 3 * C) = 2 * 10 * B + 3 * C = 20B + 3C

Таким образом, (2 * B * 10 + 3 * C) должно делиться на 100. Найдем такие значения B и C, чтобы это выполнялось:

20B + 3C = 100k, где k - некоторое целое число.

Теперь, учитывая, что B и C - различные ненулевые цифры, рассмотрим значения (B, C):

(2, 34): 20 * 2 + 3 * 34 = 40 + 102 = 142 (не подходит, потому что B и C должны быть различными).

(4, 68): 20 * 4 + 3 * 68 = 80 + 204 = 284 (не подходит, потому что B и C должны быть различными).

(6, 02): 20 * 6 + 3 * 2 = 120 + 6 = 126 (подходит, так как B и C различные и сумма равна 126).

Таким образом, мы нашли подходящие значения для B и C: B = 6, C = 2.

Теперь найдем A:

A = 6 + (2 * B * 10 + 3 * C) / 100

A = 6 + (2 * 6 * 10 + 3 * 2) / 100

A = 6 + (120 + 6) / 100

A = 6 + 126 / 100

A = 6 + 1.26

A = 7.26

Поскольку A, B и C - целые числа, A = 7, B = 6, C = 2.

Теперь найдем сумму цифр A, B и C:

Сумма = 7 + 6 + 2 = 15.

Таким образом, сумма цифр, загаданных Машей, равна 15.