Question

через точку взятую на продолжении одной из диагоналей трапеции и середину каждого основания проведены прямые, пересекающие боковые стороны трапеции в точках K и H докажите, что отрезок KH параллелен основаниям трапеции

Answer 1

M - середина BC, N - середина AD

BM/MC =AN/ND =1  

Теорема Менелая

AK/KB *BM/MC *CE/EA =1

AN/ND *DH/HC *CE/EA =1  

AK/KB =DH/HC 

Обратная теорема Фалеса

Если секущие (BC, KH, AD) отсекают на двух прямых (AB, CD) пропорциональные отрезки, начиная от вершины (BK/CH =KA/HD), то секущие параллельны.

Answer 2

Для доказательства того, что отрезок KH параллелен основаниям трапеции, нам понадобится использовать свойства параллельных прямых и свойства трапеции.

Пусть ABCD - трапеция с основаниями AB и CD, а M - точка пересечения её диагоналей. Проведем диагональ AC.

Так как M - точка пересечения диагоналей, она является их точкой пересечения. Таким образом, M делит каждую диагональ на две равные части. Обозначим точку пересечения с продолжением диагонали BD за P.

Так как M - середина диагонали AC, то AM = MC.

Также, так как M - середина диагонали BD, то BP = PD.

Теперь рассмотрим треугольники AMK и CHP.

По условию задачи точка K лежит на продолжении диагонали BD, а точка H - на продолжении диагонали AC. Таким образом, AM = MK и CH = HP.

Поскольку KM и HP - это отрезки, соединяющие середины двух сторон трапеции, то, согласно теореме о серединном перпендикуляре, они параллельны базам трапеции AB и CD.

Теперь у нас есть AM || KM и CH || HP. Теперь рассмотрим треугольники KMB и HPC.

Так как AM = MK и CH = HP, а также теорема о том, что две прямые параллельны одной и той же третьей прямой, делает отрезки BK и CP равными.

Таким образом, KB = CP.

Теперь у нас есть два треугольника KMB и HPC с параллельными сторонами BK и CP, и одинаковыми боковыми сторонами.

Теперь мы можем воспользоваться теоремой о треугольниках, которая гласит: если у двух треугольников равны две стороны и угол между ними, то эти треугольники равны.

Таким образом, треугольники KMB и HPC равны.

А значит, у них также равны углы между сторонами KH и BC.

Так как сторона KH соответствует стороне BC, а сторона KM соответствует стороне BM (поскольку M - середина диагонали AC и KM || AB), то углы между сторонами KH и KM равны углам между сторонами BC и BM.

Так как сторона BM параллельна стороне BC, углы между сторонами BC и BM равны углам между сторонами AD и AB (так как AD || BC).

Таким образом, углы между сторонами KH и KM равны углам между сторонами AD и AB.

Из этого следует, что сторона KH параллельна стороне AD (по теореме о параллельных линиях и углах).

Таким образом, отрезок KH параллелен основаниям трапеции AB и CD.