Question

. У трапеції кути при одній з основ дорівнюють 25°і 65°, а довжина середньої лінії - 7 см. Знайдіть основи трапеції, якщо відрізок, що сполучає їх середини, дорівнює 3 см. *

Answer 1

Дано: ABCD - трапеція, ВС||AD, KP - середня лінія, KP= 7 см, ∠А= 25°, ∠D= 65°, ВМ=МС, AN=ND, MN= 3 см.

Знайти: ВС, AD.

Розв'язання.

1) Через точку М, що є серединою сторони ВС, проведемо пряму МЕ||АВ і пряму MF||CD. Е∈AD, F∈AD.

∠BAC=∠MED= 25° (як відповідні кути при ME||AB і січній АЕ)

∠CDF=∠MFA= 65° (як відповідні кути при MF||CD і січній FD)

2) Оскільки ME||AB і BC||AD, то ABME - паралелограм, АЕ=ВМ.

Оскільки MF||CD і BC||AD, то FMCD - паралелограм, MC=FD.

AE=BM, MC=FD, BM=MC => AE=FD => BC=BM+MC= AE+FD => AD=BC+EF.

3) Розглянемо ΔEMF.

∠MED= 25°, ∠MFA= 65° => ∠EMF= 180°–(25°+65°)= 90° (сума всіх кутів трикутника 180°).

Отже, ∠EMF=90° => ΔEMF - прямокутний.

4) Оскільки AN=ND і AE=FD, то EN=NF => MN - медіана ΔEMF.

В прямокутному трикутнику медіана проведена до гіпотенузи дорівнює половині гіпотенузи. Тобто MN=EN=NF= 3 см. Звідси EF=EN+NF=3+3= 6 см.

5) Середня лінія трапеції дорівнює половині суми її основ.

КР= (BC+AD):2;

BC+AD= 2KP.

За умовою КР= 7 см, AD=BC+EF= BC+6.

Тому:

ВС+ВС+6= 14;

2BC= 8;

BC= 4 (см).

Тоді AD=4+6= 10 см.

Відповідь: 4 см, 10 см.

P.S. А баллов все-таки мало Вы дали :)

Answer 2

Для розв'язання задачі використаємо властивості трапеції та засоби тригонометрії.

Позначимо основи трапеції як 'a' та 'b', а середини основ - як 'm' та 'n'. Також позначимо довжину середньої лінії як 'm' та відрізок, що сполучає середини основ - як 'p'.

Ми знаємо, що довжина середньої лінії трапеції дорівнює 7 см:

m = 7 см

Також, відрізок, що сполучає середини основ, дорівнює 3 см:

p = 3 см

Відповідно до властивостей трапеції, середня лінія трапеції є середнім арифметичним довжин двох основ:

m = (a + b) / 2

Тепер ми можемо виразити одну з основ (наприклад, 'a') через 'm' і 'b':

a = 2m - b

Далі, ми можемо використати тригонометричний тангенс для знаходження довжини однієї з накреслених сторін (наприклад, 'b'):

tan(65°) = b / (2m - b)

Тепер можемо розв'язати це рівняння відносно 'b':

1. Обчислимо тангенс кута 65°:

tan(65°) ≈ 2.14451

2. Підставимо значення тангенса та відому довжину середньої лінії:

2.14451 = b / (2 * 7 - b)

3. Вирішимо рівняння відносно 'b':

2.14451(14 - b) = b

28.42114 - 2.14451b = b

3.14451b = 28.42114

b ≈ 9.03 см

Тепер, знаючи значення 'b', можемо знайти 'a':

a = 2 * 7 - 9.03 ≈ 4.97 см

Таким чином, довжина однієї з основ трапеції дорівнює приблизно 4.97 см, а іншої основи - приблизно 9.03 см.