Question

100 баллов Найдите косинус угла между векторами a=3k-p и b= k-3p, если k перпендикулярен p , |k|=|p|=1

Answer 1

Объяснение:

а*в=|а| * |в|*cos (∠ав) , cos (∠ав)=(а*в):(|а| * |в|)

Вектора  a=3k-p , b= k-3p.

а*в=(3k-p) *( k-3p)=3к²-10рк+3р².

Скалярный квадрат к²=|к|²=1²=1.

Скалярный квадрат р²=|р|²=1²=1.

Скалярное произведение перпендикулярных векторов равно 0

(  р*к=|р | * |к |*cos (∠кр)=1*1*cos90=0 ).

Получаем а*в=3к²-10рк+3р²=3*1+0+3*1=6.

Найдем длину вектора  a=3k-p . Т. к. к⊥р, то треугольник построенный на этих векторах будет прямоугольным , с катетамии 3и 1. Гипотенуза, по т. Пифагора , √10, значит | a|=√10

Аналогично для вектора  b= k-3p, |b|=√10

cos (∠ав)=6 :(√10* √10)=6/10=0,6

Answer 2

Для начала, найдем векторы a и b:

a = 3k - p b = k - 3p

Теперь, чтобы найти косинус угла между векторами a и b, воспользуемся формулой скалярного произведения:

cos(θ) = (a · b) / (|a| * |b|)

где θ - угол между векторами, (a · b) - скалярное произведение векторов a и b, и |a| и |b| - длины этих векторов.

Сначала найдем скалярное произведение a и b:

a · b = (3k - p) · (k - 3p)

Теперь разложим это произведение:

a · b = 3k · k - 3k · 3p - p · k + p · 3p

Так как k и p перпендикулярны, и |k| = |p| = 1, то скалярное произведение k и p равно 0:

k · p = 0

Поэтому остается:

a · b = 3k · k - 3p · 3p = 3|k|^2 - 3|p|^2 = 3 - 3 = 0

Теперь найдем длины векторов a и b:

|a| = |3k - p| = √(3^2 + (-1)^2) = √(9 + 1) = √10 |b| = |k - 3p| = √(1^2 + (-3)^2) = √(1 + 9) = √10

Теперь можем найти косинус угла:

cos(θ) = (a · b) / (|a| * |b|) = 0 / (√10 * √10) = 0

Таким образом, косинус угла между векторами a и b равен 0, что соответствует углу 90 градусов (прямой угол).